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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Sei $X$ ein metrischer Raum. Eine Abbildung $f:X [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] heisst (global) beschränkt, falls ihre$ [mm] Wertemengef(X)\subset \mathbb{R}$ [/mm] beschränkt ist. Sie heißt lokal beschränkt, falls jeder Punkt aus$X$ eine
o ffene [mm] Umgebung$U\subset [/mm] X$ besitzt, so dass die Einschränkung von$f$ auf $U$beschränkt ist.
Zeigen Sie:Ist $X$ kompakt ,so ist jede lokal beschränkte Funktion $f:X [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] (global) beschränkt |
Sei $f$ lokal beschränkt ,$X$ Kompakt
Z.z
$f:X [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] (global) beschränkt
Dazu
sei [mm] $\U_i$ [/mm] offene Überdeckung von $X$
Wegen $X$ i Kompakt [mm] $\Rightarrow \,$ [/mm] existiert endliche Teilüberdeckung $ [mm] X\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}U_{i}(ai) [/mm] $ für $i = 1....r$
wegen
$f$ lokal beschränkt, d.h es existiert [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X $ ein [mm] $\epsilon [/mm] >0 $, [mm] $u_\epsilon(x) \subset [/mm] X$, sodass $f(x) [mm] \subset \mathbb{R}$.
[/mm]
also
$ [mm] f(X)\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}f(U_{i}(ai)) \subset [/mm] R $
Also ist f global beschränkt.
Hilfe!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Sei [mm]X[/mm] ein metrischer Raum. Eine Abbildung [mm]f:X \to \mathbb{R}[/mm]
> heisst (global) beschränkt, falls ihre[mm] Wertemengef(X)\subset \mathbb{R}[/mm]
> beschränkt ist. Sie heißt lokal beschränkt, falls jeder
> Punkt aus[mm]X[/mm] eine
> o ffene Umgebung[mm]U\subset X[/mm] besitzt, so dass die
> Einschränkung von[mm]f[/mm] auf [mm]U[/mm]beschränkt ist.
> Zeigen Sie:Ist [mm]X[/mm] kompakt ,so ist jede lokal beschränkte
> Funktion [mm]f:X \to \mathbb{R}[/mm] (global) beschränkt
> sei [mm]\U_i[/mm] offene Überdeckung von [mm]X[/mm]
Damit solltest du nicht beginnen. Deine offene Überdeckung sollte schon eine bestimmte sein.
Da f lokal beschränkt ist, gibt es für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ eine offene Umgebung [mm] $U_x$, [/mm] auf der f beschränkt ist.
Dann ist [mm] $(U_x)_{x\in X}$ [/mm] eine offene Überdeckung von X.
> Wegen [mm]X[/mm] i Kompakt [mm]\Rightarrow \,[/mm] existiert endliche
> Teilüberdeckung [mm]X\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}U_{i}(ai) [/mm]
> für [mm]i = 1....r[/mm]
Ja. Jetzt schreib den Rest nochmal sauber passend dazu auf.
> Hilfe!!!!
Was meinst du damit? Wobei sollen wir dir helfen? Es ist evident, dass du das dazuschreibst!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | f lokal beschränkt
Dann ist $ [mm] (U_x)_{x\in X} [/mm] $ eine offene Überdeckung von X.
Wegen $ X $ Kompakt $ [mm] \Rightarrow \, [/mm] $ existiert endliche
Teilüberdeckung $ [mm] X\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}U_{i}(xi) [/mm] $
für $ i = 1....r $
Insgesamt folgt
also
$ [mm] f(X)\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}f(U_{i}(xi)) \subset [/mm] R $
wobei [mm] $x_i \in [/mm] X$ |
Ist das so mathematisch korrekt?
Lg
Nadia
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Hallo,
> f lokal beschränkt
> Dann ist [mm](U_x)_{x\in X}[/mm] eine offene Überdeckung von X.
Du hast schon wieder die Hälfte vergessen. Du musst schreiben, was die [mm] U_x [/mm] sind und wie die entstehen.
>
> Wegen [mm]X[/mm] Kompakt [mm]\Rightarrow \,[/mm] existiert endliche
> Teilüberdeckung [mm]X\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}U_{i}(xi)[/mm]
>
> für [mm]i = 1....r[/mm]
Ja. Aber du solltest dann besser auf obige Notation eingehen!
X kompakt --> Es existieren endlich viele [mm] x_1,...,x_r [/mm] so dass $X [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{r}U_{x_i}$.
[/mm]
>
> Insgesamt folgt
>
> also
> [mm]f(X)\subset \bigcup_{i \in I \subset \mathh{R}}f(U_{i}(xi)) \subset R[/mm]
>
> wobei [mm]x_i \in X[/mm]
Besser: $f(X) [mm] \subset f\left(\bigcup_{i=1}^{r}U_{x_{i}}\right) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{r}f(U_{x_i})$,
[/mm]
Eine endliche Vereinigung von beschränkten Mengen ist wieder beschränkt.
Daraus folgt, dass der Bildbereich von f unter X beschränkt ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen dank, ich werde das so machen.
Lg
Nadia
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