Kompaktheit, Folgenräume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich versuche, die Kompaktheit zu zeigen, weil daraus die Beschränktheit folgt. Verstehe ich das richtig, dass ich mit der Metrik [mm] d(x,y)=\left(\sum_{i\in\IN} |x_i-y_i|^2\right)^{\frac12} [/mm] arbeiten muss?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo TommyAngelo,
deinen Dateianhang konnten wir leider nicht freigeben. Sei doch so gut, und tippe das alles ab, so arg viel ist es ja dann auch wieder nicht. 
Gruß, Diophant
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Doch, es ist sehr viel abzutippen, siehe:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/33810_abc.jpg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich versuche, die Kompaktheit zu zeigen, weil daraus die
> Beschränktheit folgt.
Das funktioniert aber nicht immer !
> Verstehe ich das richtig, dass ich
> mit der Metrik [mm]d(x,y)=\left(\sum_{i\in\IN} |x_i-y_i|^2\right)^{\frac12}[/mm]
> arbeiten muss?
Ja
Fangen wir mal mit [mm] E_2 [/mm] an: [mm] E_2 [/mm] ist beschränkt, da $ d(x,0) [mm] \le [/mm] 1$ ist für alle $x [mm] \in E_2.$
[/mm]
Kompakt ist [mm] E_2 [/mm] nicht !
Sei [mm] x^{(k)}:=(0,....,0,1,0,...), [/mm] wobei die 1 an der k-ten Stelle steht. [mm] (x^{(k)}) [/mm] ist eine Folge in [mm] E_2, [/mm] die aber keine konvergente Teilfolge enthält, warum ?
Zu [mm] E_1: [/mm] Sei [mm] x^{(k)}:=(1,\bruch{1}{\wurzel{2}},...., ,\bruch{1}{\wurzel{k}},0,...).
[/mm]
Zeige: [mm] (x^{(k)}) [/mm] ist eine Folge in [mm] E_1 [/mm] und [mm] $d(x^{(k)},0) \to \infty$ [/mm] für $k [mm] \to \infty.$
[/mm]
[mm] E_1 [/mm] ist also nicht beschränkt, und damit auch nicht kompakt.
Zu [mm] E_3: [/mm] Zeige: $d(x,0) [mm] \le \bruch{\pi^2}{6}$ [/mm] für alle $ x [mm] \in E_3.$
[/mm]
[mm] E_3 [/mm] ist also beschränkt.
Um die Frage , ob [mm] E_3 [/mm] kompakt ist, darfst Du Dich nun selbst kümmern.
Gruß FRED
P.S.: der Aufwand, den Du hättest betreiben müssen, wenn Du die Aufgabenstellung abgetippt hättest, ist nicht größer als der Aufwand, den ich betrieben habe, um Dir zu antworten !
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Danke für die Antwort! Ich war der Annahme, hier würde mir niemand mehr antworten. Das Abtippen finde ich sinnlos, wenn es eine angenehmere Möglichkeit gibt. Andere Foren handhaben das anders.
Ich habe es mir ähnlich überlegt.
Sei . Dann liegt die Folge in und es gilt:
Somit ist unbeschränkt, richtig?
ist offensichtlich beschränkt. Es ist nur noch auf Kompaktheit zu untersuchen.
Bei kann man direkt die Folge verwenden, weil sie in liegt. Es gilt:
Hier ist ebenso nur noch auf Kompaktheit zu untersuchen.
FRED, du hast mir einen wichtigen Tipp für die Widerlegung der Kompaktheit von [mm] E_2 [/mm] gegeben.
Die Folge [mm] x^{(k)} [/mm] enthält keine konvergente Teilfolge, weil der Abstand paarweise immer beträgt. Somit ist diese Folge nicht einmal eine Cauchy-Folge. Kann man jetzt aus dieser Information elegant zeigen, dass nicht kompakt ist?
Ansonsten muss ich zur Methode der Überdeckung greifen:
denn die Nullfolge liegt offensichtlich in dieser Überdeckung, weil und jede andere Folge irgendwo einen Eintrag oder hat, zu dem man bzw. addieren kann, um im Intervall zu bleiben, so dass also gilt:
bzw.
Das heißt, wir haben eine offene Überdeckung von gefunden, die keine endliche Teilüberdeckung enthält. ist nicht kompakt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Das Abtippen finde ich sinnlos,
> wenn es eine angenehmere Möglichkeit gibt. Andere Foren
> handhaben das anders.
Auch andere Foren haben Regeln, an die man sich zu halten hat. So haben auch wir unsere Regeln, welche du dir zu dieser Thematik bitte einmal durchlesen solltest.
Was andere Foren tun oder nicht ist deren Sache bzw. Problem. Hier jedenfalls ist der Betreiber ein gemeinnütziger Verein. Falls du dich mit dem Vereinsrecht ein wenig auskennst, dann wist du sicherlich nachvollziehen können, dass wir hier mit Fragen des Urheberrechts seriös umgehen müssen (und auch wollen!).
Gruß, Diophant
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Dann werde ich mal Regel Nr. 4 anwenden.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=196126
Wenn ich also was abtippe, verstößt es nicht gegen das Urheberrecht, aber wenn ich es abtippe und bspw. mit pdflatex umwandle, verstößt es dagegen? Man merkt ja keinen Unterschied.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
deine obige Rückfrage kann man schon fast als Ankündigung ansehen, dich nicht an unsere Regeln halten zu wollen. So ganz nebenbei: dein Anhang war ein Scan eines gedruckten Werkes, und das lässt obige Spitzfindigkeiten völlig obsolet werden.
Gruß, Diophant
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Nein, es war kein gedrucktes Werk, sondern eine PDF-Datei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 15.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[vertrag]](/images/smileys/vertrag.gif "[vertrag]"){kind=small}
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
