Kompaktheit der Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 13.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | In einen Beweis für Lineare Algebra brauche ich dass die Menge M kompakt ist.
M= [mm] \{ z \in \IC : |z| <= R \}
[/mm]
R ist das maximum von 1 sowie anderen Variabeln, die für meine Frage nicht von Interesse sind. |
Hei
M kompakt <=> M beschränkt und abgeschlossen.
Wie zeige ich das nun?
Lehrer meinte das die vollständigkeit der reellen Zahlen eine Rolle spielt.
Liebe Grüße,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 13.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
beschränkt ist hier klar, jetzt sieh nach, was abgeschlossen bedeutet und dann versuch es zu zeigen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 13.09.2012 | | Autor: | quasimo |
hallo,
Also durch R+1 und R-1 ist die Menge beschränkt oder?
Ich hab gelernt, dass eine Menge abgeschlossen ist wenn die ihren Rand enthält. Ist hier R und -R der Rand?
Oder das das Komplement der Menge offen ist charakterisiert eine abgeschlossene Menge.
LG quasimo
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Hallo quasimo,
> hallo,
>
> Also durch R+1 und R-1 ist die Menge beschränkt oder?
Was soll das bedeuten?
Du kannst [mm]M[/mm] als Menge im [mm]\IR^2[/mm] auffassen.
Wann ist eine Menge im [mm]\IR^2[/mm] berschränkt?
>
> Ich hab gelernt, dass eine Menge abgeschlossen ist wenn die
> ihren Rand enthält.
Jo, das ist hier ein gutes Kriterium!
> Ist hier R und -R der Rand?
Nein, wieso sollte das der Rand sein? Der enthält eine ganze Menge mehr Punkte (unendlich viele)
Um welche Menge geht es denn hier? Hast du die mal gezeichnet?
Nimm der Einfachheit halber an, [mm]R=1[/mm]; was ist dann [mm]M=\{z\in\IC:|z|\le 1\}[/mm] ?
> Oder das das Komplement der Menge offen ist
> charakterisiert eine abgeschlossene Menge.
Das geht auch, such dir aus, wie du das zeigen willst ...
Überlege nochmal in Ruhe, was der Rand von M ist, dann wird alles klar ...
>
>
> LG quasimo
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Fr 14.09.2012 | | Autor: | quasimo |
> Wann ist eine Menge im $ [mm] \IR^2 [/mm] $ berschränkt?
Eine menge ist beschränkt wenn die Menge eine obere und untere Schranke hat
das heißt die Menge A ist beschränkt wenn gilt
[mm] \forall\ [/mm] a [mm] \in [/mm] A : S <= a
und [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : S>= a
Für einen Kreisl wären ja die Schranken alle Punkte außerhalb des Kreises .
> Nimm der Einfachheit halber an, $ R=1 $; was ist dann $ [mm] M=\{z\in\IC:|z|\le 1\} [/mm] $ ?
Der Kreis mit Radius 1 .
Randpunkte: x Randpunkt
[mm] \forall\ \epsilon [/mm] > 0 [mm] U_(\epsilon) [/mm] (x) [mm] \cap M\not= \{\}
[/mm]
, [mm] U_(\epsilon) [/mm] (x ) [mm] \cap M^c \not= \{\}
[/mm]
Der Rand sind die Punkte, um die ich immer eine Epsilonumgebung ziehen kann die in M und im Komplement von M Punkte hat. Intuitiv ist es hier die "Linie" die den Kreis beschränkt. und diese ist in M enthalten .
Aber zu einen richtigen Beweis fehlt mir der ansatz.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 14.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Wann ist eine Menge im [mm]\IR^2[/mm] berschränkt?
> Eine menge ist beschränkt wenn die Menge eine obere und
> untere Schranke hat
> das heißt die Menge A ist beschränkt wenn gilt
> [mm]\forall\[/mm] a [mm]\in[/mm] A : S <= a
> und [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A : S>= a
Das was Du schreibst ist "Beschränktheit in [mm] \IR [/mm] ! Und falsch ist es auch noch.
Eine Teilmenge A von [mm] \IR [/mm] ist beschränkt [mm] \gdw [/mm] es ex. ein S>0 mit -S [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] S für alle a [mm] \in [/mm] A [mm] \gdw [/mm] es ex. ein S>0 mit |a| [mm] \le [/mm] S für alle a [mm] \in [/mm] A.
Beschränktheit in [mm] \IC:
[/mm]
Eine Teilmenge A von [mm] \IC [/mm] ist beschränkt [mm] \gdw [/mm] es ex. ein S>0 mit |a| [mm] \le [/mm] S für alle a [mm] \in [/mm] A (wobei jetzt mit |*| der komplexe Betrag gemeint ist).
Nun schau Dir damit mal Deine Menge M an. Siehst Du , dass die Beschränktheit von M eine Trivialität ist ?
>
> Für einen Kreisl wären ja die Schranken alle Punkte
> außerhalb des Kreises .
Unfug !
> > Nimm der Einfachheit halber an, [mm]R=1 [/mm]; was ist dann
> [mm]M=\{z\in\IC:|z|\le 1\}[/mm] ?
> Der Kreis mit Radius 1 .
> Randpunkte: x Randpunkt
> [mm]\forall\ \epsilon[/mm] > 0 [mm]U_(\epsilon)[/mm] (x) [mm]\cap M\not= \{\}[/mm]
>
> , [mm]U_(\epsilon)[/mm] (x ) [mm]\cap M^c \not= \{\}[/mm]
Ja
>
> Der Rand sind die Punkte, um die ich immer eine
> Epsilonumgebung ziehen kann die in M und im Komplement von
> M Punkte hat. Intuitiv ist es hier die "Linie" die den
> Kreis beschränkt.
Also alle Punkte mit |z|=1
> und diese ist in M enthalten .
> Aber zu einen richtigen Beweis fehlt mir der ansatz.
Meinst Du den Beweis für die Abgeschlossenheit von M ?
M ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (z_n) [/mm] aus M gehört auch ihr Limes zu M.
Damit wird der Bewis doch ganz eibfach.
FRED
>
> LG,
> quasimo
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 14.09.2012 | | Autor: | quasimo |
> Nun schau Dir damit mal Deine Menge M an. Siehst Du , dass die Beschränktheit von M eine Trivialität ist ?
Hallo, jap.
Ich hätte selber mal im Internet nachschauen müssen, im Skriptum steht das leider nirgend so schön wie in deinen Beitrag. Ich habs sofort im Skript und meinen Hirn ergänzt ;)
> Meinst Du den Beweis für die Abgeschlossenheit von M ?
> M ist abgeschlossen $ [mm] \gdw [/mm] $ für jede konvergente Folge $ [mm] (z_n) [/mm] $ aus M gehört auch ihr Limes zu M.
nach Konstruktion [mm] |z_n| [/mm] <= R
ZuZeigen [mm] |lim_{n->\infty} z_n| [/mm] <= R <=> [mm] lim_{n->\infty} z_n \in [/mm] M
Sei [mm] lim_{n->\infty} z_n=z
[/mm]
Falscher Versuch:
Indirekt z [mm] \not\in [/mm] M woraus folgt [mm] U_\epsilon [/mm] (z) ohne M [mm] \not= \{\}
[/mm]
[mm] \forall \epsilon>0
[/mm]
Aus Konvergenz folgt [mm] U_\epsilon(z) \cap [/mm] M [mm] \not= \{ \}
[/mm]
Damit ist z Element vom Rand von M.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Nun schau Dir damit mal Deine Menge M an. Siehst Du , dass
> die Beschränktheit von M eine Trivialität ist ?
> Hallo, jap.
> Ich hätte selber mal im Internet nachschauen müssen, im
> Skriptum steht das leider nirgend so schön wie in deinen
> Beitrag. Ich habs sofort im Skript und meinen Hirn ergänzt
> ;)
>
> > Meinst Du den Beweis für die Abgeschlossenheit von M ?
>
> > M ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](z_n)[/mm]
> aus M gehört auch ihr Limes zu M.
> nach Konstruktion [mm]|z_n|[/mm] <= R
eher nach Wahl! Denn man beginnt ja mit "Sei [mm] $(z_n)_n$ [/mm] (irgendeine)
Folge in [mm] $M\,,$ [/mm] konvergent in [mm] $\IR^2$ [/mm] - dieser Grenzwert heiße etwa
[mm] $z\,.$"
[/mm]
> ZuZeigen [mm]|lim_{n->\infty} z_n|[/mm] <= R <=> [mm]lim_{n->\infty} z_n \in[/mm]
> M
> Sei [mm]lim_{n->\infty} z_n=z[/mm]
>
> Falscher Versuch:
??
> Indirekt z [mm]\not\in[/mm] M woraus folgt [mm]U_\epsilon[/mm] (z) ohne M
> [mm]\not= \{\}[/mm]
> [mm]\forall \epsilon>0[/mm]
> Aus Konvergenz folgt
> [mm]U_\epsilon(z) \cap[/mm] M [mm]\not= \{ \}[/mm]
> Damit ist z Element vom
> Rand von M.
Sortiere mal Deine Gedankengänge: Du willst einen Widerspruch erzeugen.
Jetzt nimmst Du an, es wäre mit [mm] $z:=\lim_n z_n$ [/mm] (Kurznotation [mm] $\lim_n:=\lim_{n \to \infty}$) [/mm] nun doch $z [mm] \notin M\,.$ [/mm]
Und was zeigst Du nun mit
dem Konvergenzverhalten von [mm] $(z_n)_n\,,$ [/mm] welche ja die Eigenschaft hat,
dass alle [mm] $z_n \in [/mm] M$ sind und dass [mm] $z_n \to [/mm] z$ gilt?
Was hat das mit obigem [mm] $U_\epsilon(z) \setminus [/mm] M$ zu tun - und was
ist das für ein [mm] $\epsilon$? [/mm] Wo ist der Widerspruch?
Also mir ist da gar nicht klar, was Du machst: Da stehen nur Bruchstücke,
unsortiert, und nun soll man puzzlen, bis man Deinen Beweisversuch
überhaupt mal verstehen kann. Klare Worte sind meist einfacher, das ist
so ähnlich wie ein Arbeitsplan, nur, dass man nicht nur schreibt, was man
machen will, sondern auch, wie einem dass dann gelungen ist. Stell's Dir
also als "Arbeitsbericht einer gelungenen Arbeit" vor, wo Du alles detailliert
beschreibst. ( Wir sind quasi an "jedem 'Kleinschiss, der wichtig ist',
interessiert.  ")
Aber mal jedenfalls eine Alternative Lösung:
Sei [mm] $(z_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $M\,,$ [/mm] so, dass [mm] $z_n \to [/mm] z$ bzgl. der durch
[mm] $|.|_{\IC}$ [/mm] induzierte Metrik (eigentlich ist [mm] $(\IC,|.|_{\IC})\,$ [/mm] ein normierter Raum,
und damit induziert der Betrag [mm] $|.|_{\IC}\,$ [/mm] auf [mm] $\IC$ [/mm] eine Metrik
auf [mm] $\IC$).
[/mm]
Weil [mm] $|.|_{\IC}$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $|.|_{\IR}$ [/mm] übereinstimmt,
schreiben wir im Folgenden [mm] $|.|\,$ [/mm] sowohl für [mm] $|.|_{\IC}$ [/mm] als auch für
[mm] $|.|_{\IR}\,.$
[/mm]
Dann folgt, dass [mm] $(|z_n-z|)_n$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $\IR\,$ [/mm] ist.
Siehst Du nun, dass wir im Folgenden folglich nur noch mit [mm] $(\IR,|.|)$
[/mm]
arbeiten müssen? Denn [mm] $|z_n -z|_{\IC} \in [0,\infty) \subseteq \IR\,$ [/mm] -
allgemein ist [mm] $|z|_{\IC} \in \IR$ [/mm] für $z [mm] \in \IC\,.$
[/mm]
Man muss sich hier immer ein bisschen klarmachen "Wo rechnen wir
gerade" - damit wir auch wissen "Dürfen bzw. warum dürfen wir das
benutzen, was wir benutzen (wollen)..."
Wir wissen also:
Es gilt [mm] $|z_n| \le [/mm] R$ für alle [mm] $n\,,$ [/mm] und zudem gilt [mm] $\lim_n |z_n -z|=0\,.$
[/mm]
Außerdem wissen wir, dass in [mm] $\IC$ [/mm] die Dreiecksungleichung gilt
[mm] $$(\*)\;\;|z| \le \underbrace{|\;z-z_n\;|}_{=|\;z_n-z\;|}+|z_n|\,.$$
[/mm]
Und in [mm] $\IR$ [/mm] wissen wir (wenn Du es nicht weißt, dann beweise es):
Falls $0 [mm] \le m_n \to [/mm] 0$ und wenn [mm] $(a_n)_n,\;(b_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm]
konvergente Folgen mit Grenzwert [mm] $a\,$ [/mm] bzw. [mm] $b\,$ [/mm] sind, dann folgt aus
[mm] $$\forall [/mm] n: [mm] a_n \le b_n+m_n\,,$$
[/mm]
dass
$$a [mm] \le [/mm] b$$
gelten muss.
P.S.
Ebenfalls gilt für $r,s [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $$\big(\forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\; [/mm] r [mm] \le s+\epsilon \big) \;\;\Rightarrow [/mm] r [mm] \le s\,,$$
[/mm]
aber es gilt "nur"
[mm] $$\big(\forall \epsilon [/mm] > [mm] 0:\; [/mm] r [mm] \red{\textbf{\;<\;}} s+\epsilon \big)\;\;\Rightarrow [/mm] r [mm] \blue{\;\mathbf{\le\;}} s\,,$$
[/mm]
Sowas wird in der Analysis ständig benutzt - daher sollte man das auch
mal bewiesen haben. (Ich würde eigentlich auch die zumindest die
Dozenten, die sowas weder in der Vorlesung beweisen noch die Aufgabe
als Übungsaufgabe stellen, bitten, diese Aufgabe schnell in den ersten
Übungsblättern aufzunehmen - denn es ist eine leichte Aufgabe, aber
dieses Ergebnis wird doch ununterbrochen in der Anaylsis verwendet!)
Was bringt uns [mm] $(\*)$ [/mm] nun bzgl. [mm] $|z|\,$? [/mm] Was hat das mit [mm] $M\,$ [/mm] zu tun?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 14.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich bin in Analysis trotz einem Jahr nicht sehr taff, da kommt mir jedes Beispiel wie - einmal aus der Trickkiste ziehen - vor.
Nochmal zusammengefasst:
Sei [mm] (z_n)_n [/mm] eine Folge in M, sodass [mm] z_n [/mm] ->z bzgl der durch [mm] |.|_{\IC} [/mm] induziertern Metrik.
[mm] (|z_n [/mm] - [mm] z|)_n [/mm] ist dabei eine Nullfolge in [mm] \IR-> [/mm] folglich reicht es nur noch in [mm] (\IR, [/mm] |.|) zu arbeiten.
Es gilt nach Wahl [mm] |z_n [/mm] | <= R [mm] \forall [/mm] n
In [mm] \IC [/mm] gilt die Dreiecksungleichung: |z| <= [mm] |z-z_n| [/mm] + [mm] |z_n| [/mm] = [mm] |z_n-z| [/mm] + [mm] |z_n| [/mm] <= [mm] |z_n [/mm] -z| + R
Das Lemma hatten wir, es besagt ja das man umgangsprachlich gesagt zum Limes übergehen darf.
Wenn ich bei der obigen Gleichung zum Limes übergehe steht da:
|z| <= R da [mm] (|z-z_n|)_n [/mm] eine Nullfolge ist und z-> z und R->R
Ich habe noch eine Frage:
Wenn wir M'= $ [mm] \{ z \in \IC : |z| < R \} [/mm] $ hätten wäre die Menge M dann auch kompakt?
Die Teilmenge M' ist beschränkt wenn [mm] \exists [/mm] S >0: |z| <= S
Ist das nun egal ob da <= oder < bei der Defenition der Beschränktheit steht?
Ich denke die Menge M' ist nicht abgeschlossen:
> Sei [mm] (z_n)_n [/mm] eine Folge in M', sodass [mm] z_n [/mm] ->z bzgl der durch [mm] |.|_{\IC} [/mm] induziertern Metrik.
> [mm] (|z_n [/mm] - [mm] z|)_n [/mm] ist dabei eine Nullfolge in [mm] \IR-> [/mm] folglich reicht es nur noch in [mm] (\IR, [/mm] |.|) zu arbeiten.
Es gilt nach Wahl [mm] |z_n [/mm] | < R [mm] \forall [/mm] n
In [mm] \IC [/mm] gilt die Dreiecksungleichung: |z| <= [mm] |z-z_n| [/mm] + [mm] |z_n| [/mm] = [mm] |z_n-z| [/mm] + [mm] |z_n| [/mm] < [mm] |z_n [/mm] -z| + R
Wenn ich bei der obigen Gleichung zum Limes übergehe steht da:
|z| <= R da [mm] (|z-z_n|)_n [/mm] eine Nullfolge ist und z-> z und R->R
und da |z| = R passieren kann stimmt das nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Sa 15.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für deine Antwort.
> Ich bin in Analysis trotz einem Jahr nicht sehr taff, da
> kommt mir jedes Beispiel wie - einmal aus der Trickkiste
> ziehen - vor.
Fred hat's eigentlich leichter begründet, er sagt:
Wenn [mm] $|z_n| \le [/mm] R$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, was folgt dann (weil [mm] $(z_n)_n$
[/mm]
hier ja konvergent ist, können wir davon reden) sofort für
[mm] $\lim_n z_n=z\,$ [/mm] bzgl. [mm] $|z|\,$?
[/mm]
(Im Prinzip habe ich das auch irgendwo stehen: Wenn für eine Folge
[mm] $(r_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] mit Grenzwert $r [mm] \in \IR$ [/mm] nun [mm] $r_n \le [/mm] b$ für alle [mm] $n\,$
[/mm]
gilt, mit einem $b [mm] \in \IR\,,$ [/mm] was folgt dann für [mm] $r\,$? [/mm] Vor allem: Wieso folgt
das?
Ich hab's halt irgendwo "über (unnötigen) Umwegen" begründet - unnötig
jedenfalls, wenn man sich obiges erklären kann!)
> Nochmal zusammengefasst:
> Sei [mm](z_n)_n[/mm] eine Folge in M, sodass [mm]z_n[/mm] ->z bzgl der durch
> [mm]|.|_{\IC}[/mm] induziertern Metrik.
> [mm](|z_n[/mm] - [mm]z|)_n[/mm] ist dabei eine Nullfolge in [mm]\IR->[/mm] folglich
> reicht es nur noch in [mm](\IR,[/mm] |.|) zu arbeiten.
> Es gilt nach Wahl [mm]|z_n[/mm] | <= R [mm]\forall[/mm] n
> In [mm]\IC[/mm] gilt die Dreiecksungleichung: |z| <= [mm]|z-z_n|[/mm] +
> [mm]|z_n|[/mm] = [mm]|z_n-z|[/mm] + [mm]|z_n|[/mm] <= [mm]|z_n[/mm] -z| + R
> Das Lemma hatten wir, es besagt ja das man
> umgangsprachlich gesagt zum Limes übergehen darf.
> Wenn ich bei der obigen Gleichung zum Limes übergehe
> steht da:
> |z| <= R da [mm](|z-z_n|)_n[/mm] eine Nullfolge ist und z-> z und
> R->R
Verstehe ich gerade nicht:
Die Dreiecksungleichung (ob jetzt wirklich nötig oder nicht, egal, arbeiten
wir mal damit, wie von mir vorgeschlagen, funktionieren tut's ja!):
$$|z| [mm] \le |z-z_n|+ |z_n| \le \text{"Nullfolge in n"}+R$$
[/mm]
"Umständlich" gesagt bekomme ich damit auch raus, dass
$$|z| [mm] \le R+\epsilon$$
[/mm]
für alle [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] also $|z| [mm] \le R\,.$
[/mm]
> Ich habe noch eine Frage:
> Wenn wir M'= [mm]\{ z \in \IC : |z| < R \}[/mm] hätten wäre die
> Menge M dann auch kompakt?
Nein - jedenfalls nicht, wenn wir mit "üblicher euklidischer Metrik" arbeiten
- aber von anderem gehen wir eh nicht aus, deswegen habe ich mir auch
keine Gedanken gemacht, ob's "theoretisch andere mögliche Fälle geben
könnte". Zudem gehe ich von $R > [mm] 0\,$ [/mm] aus!!
> Die Teilmenge M' ist beschränkt wenn [mm]\exists[/mm] S >0: |z|
> <= S
> Ist das nun egal ob da <= oder < bei der Defenition der
> Beschränktheit steht?
Na, wenn Du [mm] $\le S\,$ [/mm] hast, aber per Definitionen $< [mm] S\,$ [/mm] haben müßtest,
"mußt Du doch nur [mm] $S\,$ [/mm] 'vergrößern': Dann nimmt man als neues [mm] $S\,$
[/mm]
etwa das alte [mm] $S\,$ [/mm] und addierst etwa $+1$ drauf, und hat dann eine
"$< [mm] \text{(neues) }S$-Abschätzung" [/mm] da stehen.
Das heißt, aus der [mm] $\le\,$-Definition [/mm] folgt die $<$-Definition. Umgekehrt:
Wenn man für alle $m [mm] \in M\,'$ [/mm] nun $|m| < S$ weißt, dann gilt auch
$|m| [mm] \le [/mm] S$ für alle $m [mm] \in M\,'\,.$
[/mm]
Die Definitionen sind also einander äquivalent, daher ist's egal!
Ist klar, was ich meine? Denn das taucht auch ständig auf: Wenn man
die Stetigkeitsdefinitionen vorgelegt bekommen hat, dann ist's manchmal
so, dass der Dozent/Autor sich in dem ein oder anderen Beweis nicht strikt
dran hält, was er per Definitionem zu zeigen hat. Eventuell hat er nur
etwas [mm] mit"$\le \epsilon$" [/mm] bewiesen, obwohl in der Definition $< [mm] \epsilon$ [/mm]
steht. Man muss sich manchmal klar machen, "dass das egal ist, weil
beides einander äquivalent ist".
So gilt etwa:
Eine Teilmenge $T [mm] \subseteq \IR$ [/mm] heißt beschränkt, wenn es $s,S [mm] \in \IR$
[/mm]
so gibt, dass
$$s [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] S$$
für alle $t [mm] \in T\,.$ [/mm] Aber man sagt auch, dass eine Teilmenge
$T [mm] \subseteq \IR$ [/mm] beschränkt ist, wenn es eine Zahl
[mm] $S\,' \in \IR$ [/mm] (sogar o.E. [mm] $S\,' \ge [/mm] 0$) so gibt, dass
$$|t| [mm] \le S\,'$$
[/mm]
für alle $t [mm] \in [/mm] T$ gilt. Warum ist das egal, was man sagt? Naja, wenn man
zeigt, dass beide Definitionen einander äquivalent sind (d.h. aus der einen
folgt die andere und aus der anderen folgt auch die eine), dann hat man
bewiesen, dass das egal ist!
> Ich denke die Menge M' ist nicht abgeschlossen:
>
> > Sei [mm](z_n)_n[/mm] eine Folge in M', sodass [mm]z_n[/mm] ->z bzgl der durch
> [mm]|.|_{\IC}[/mm] induziertern Metrik.
> > [mm](|z_n[/mm] - [mm]z|)_n[/mm] ist dabei eine Nullfolge in [mm]\IR->[/mm] folglich
> reicht es nur noch in [mm](\IR,[/mm] |.|) zu arbeiten.
> Es gilt nach Wahl [mm]|z_n[/mm] | < R [mm]\forall[/mm] n
> In [mm]\IC[/mm] gilt die Dreiecksungleichung: |z| <= [mm]|z-z_n|[/mm] +
> [mm]|z_n|[/mm] = [mm]|z_n-z|[/mm] + [mm]|z_n|[/mm] < [mm]|z_n[/mm] -z| + R
> Wenn ich bei der obigen Gleichung zum Limes übergehe
> steht da:
> |z| <= R da [mm](|z-z_n|)_n[/mm] eine Nullfolge ist und z-> z und
> R->R
> und da |z| = R passieren kann stimmt das nicht?
Da wäre dann nur eine Idee, wie man einen Beweis kreieren könnte - und
hier wird's schwer, zu sagen, dass man nur noch in [mm] $\IR$ [/mm] arbeiten will.
Natürlich wird man irgendwann im Wesentlichen in [mm] $\IR$ [/mm] weiterarbeiten,
aber das entscheidende passiert hier in [mm] $\IC\,.$ [/mm] (Sagen wir vielleicht
besser, das entscheidende läßt sich in [mm] $\IC$ [/mm] bzw. dem [mm] $\IR^2$ [/mm] besser
veranschaulischen - so ganz kann man das eigentlich nicht sagen, dass
das entscheidene in [mm] $\IC$ [/mm] passiert!)
Wann wissen wir, dass [mm] $M\,'$ [/mm] NICHT abgeschlossen ist? Das wissen wir,
wenn wir (nur schon) EINE (EINZIGE) Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] in [mm] $M\,'$ [/mm] finden, die
gegen ein $z [mm] \notin M\,'$ [/mm] konvergiert.
Naheliegend ist doch dann das folgende: $z [mm] \notin M\,'$ [/mm] gilt genau dann,
wenn $|z| [mm] \ge R\,.$ [/mm] "Um möglichst nahe an [mm] $M\,'$ [/mm] zu liegen", wird man
erstmal versucht sein, ein [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z|=R\,$ [/mm] zu wählen.
Schön: Betrachte den Strahl von [mm] $0\,$ [/mm] zu irgendeinem $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit
[mm] $|z|=R\,.$ [/mm] Wie kann man dann schon "sehen, dass man [mm] $z_n \in M\,'$
[/mm]
angeben kann, die [mm] $z\,$ [/mm] beliebig nahe kommen können?"
Und wenn alle Stricke reißen: Betrachte [mm] $z=\underbrace{R}_{> 0} \in \IR \subseteq \IC\,,$
[/mm]
und wähle einfach etwa [mm] $z_n:=R-\frac{R}{n}\,.$ [/mm]
Jedenfalls: Versuch einfach mal selber, das ganze hinzuschreiben. Vielleicht
machst Du Dir auch (nochmal?) klar, warum für $a [mm] \le [/mm] b$ in [mm] $\IR$ [/mm] die Menge
[mm] $[a,b]\,$ [/mm] kompakt ist, und warum [mm] $(a,b)\,$ [/mm] zwar beschränkt, nicht aber
abgeschlossen, insbesondere nicht kompakt ist. Im Prinzip reicht's
tatsächlich, das verstanden zu haben - das kann man sogar direkt auf
[mm] $\IC$ [/mm] (bzgl. "abgeschlossener Kugel" und "offener Kugel") übertragen,
eigentlich sogar übernehmen.
Aber "das Beweisprinzip" hier verstanden zu haben, ist eigentlich wichtiger.
Deswegen auch "das skizzieren der Kreisscheibe und das angucken eines
Strahles".
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 14.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] (z_n) [/mm] eine konvergente Folge in M und [mm] z_0 [/mm] ihr Limes, dann treibt [mm] (|z_n|) [/mm] was ?
Es ist [mm] |z_n| \le [/mm] R für alle n. Dann ist [mm] |z_0| \le [/mm] ?
FRED
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