Kompaktheit einer Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | Zeigen Sie das folgende Menge kompakt ist:
[mm] X={(x,y)\in\IR^{2} | 4x^{2}+9y^{2}<=3} [/mm] |
Beschränktheit ist klar.
Bei Abgeschlossenheit muss man irgendwie zeigen dass alle komvergente Folgen einen Grenzwert in der Folge haben oder irgendwie so..:)
Ich kenn mich da noch nicht so aus.....
Ich glaub es is der Satz im Skript aber ich weiß nicht was der sagt bzw. wozu man ihn braucht:
"A heißt folgenkompakt [mm] \gdw \forall (x_{n}) \in A^{\IN} \exists [/mm] Teilfolge
[mm] (x_{n_{k}}) \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : [mm] x_{n_{k}} [/mm] -> x"
Dass hat uns unser Prof gsagt:
Man muss also den Grenzwert der Menge bilden und dann schauen ob der Grenzwert wieder in der Menge liegt....liegt er in der Menge so ist die Menge abgeschlossen...wie lese ich dass aus dem Satz raus?
zz.: [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] -> (x,y) [mm] \in [/mm] X Wie zeige ich das????
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Hannes.
In diesem Falle mit Folgen zu arbeiten wäre unangemessen umständlich.
Setze [mm] $f:\IR^2\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x,y)=4x^2+9y^2$. [/mm] Überlege dir, dass $f$ stetig ist. Dann ist [mm] $\IR^2\setminus [/mm] X = [mm] \{(x,y)\in \IR^2 | 4x^2+9y^2>3\}=f^{-1}(3,\infty)$. [/mm] Als Urbild der offenen Menge [mm] $(3,\infty)$ [/mm] ist also auch [mm] $\IR^2\setminus [/mm] X$ offen und $X$ somit abgeschlossen.
Du siehst: für die Abgeschlossenheit ist es völlig egal, wie $f$ konkret aussieht, so lange es stetig ist: sei $X$ ein metrischer Raum, [mm] $f:X\to\IR$ [/mm] stetig und [mm] $M_a:=\{x\in X| f(x)\leq a\}$ [/mm] für [mm] $a\in \IR$. [/mm] Dann ist [mm] $M_a$ [/mm] abgeschlossen.
Liebe Grüße,
Hanno
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