Kompaktheit in Folgenräumen < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 12.07.2014 | | Autor: | am121991 |
| Aufgabe | Zeige oder widerlege:
E:= [mm] \left\{x\in l^1(\IN):|x_i|\le \bruch{1}{i}\right\} [/mm] ist kompakt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage ist einfach: Ist diese Menge kompakt. Ich muss nur wissen, ob sie kompakt ist oder nicht. Ich brauche keinen Beweis.
Meiner Meinung nach ist sie kompakt, aber ich bin mir nicht sicher und würde gerne sicher gehen.
Danke, beste Grüße
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 12.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeige oder widerlege:
> E:= [mm]\left\{x\in l^1(\IN):|x_i|\le \bruch{1}{i}\right\}[/mm] ist
> kompakt.
Ich nehme an, dass [mm] l^1(\IN) [/mm] mit der üblichen [mm] l^1- [/mm] Norm [mm] ||*||_1 [/mm] ausgestattet ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Meine Frage ist einfach: Ist diese Menge kompakt. Ich muss
> nur wissen, ob sie kompakt ist oder nicht. Ich brauche
> keinen Beweis.
> Meiner Meinung nach ist sie kompakt, aber ich bin mir
> nicht sicher und würde gerne sicher gehen.
E ist nicht kompakt. Auch wenn Dir die Begründung schnuppe ist:
für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] $x^{(n)}:=(1, \bruch{1}{2}, [/mm] ...., [mm] \bruch{1}{n},0,....)$
[/mm]
Dann ist [mm] x^{(n)} \in [/mm] E für jedes n.
Berechne mal [mm] ||x^{(n)}||_1
[/mm]
Was sagt Dir das dann ?
FRED
> Danke, beste Grüße
> Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 12.07.2014 | | Autor: | am121991 |
Sehe ich das richtig, dass die Menge E dann auch nicht beschränkt ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 12.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sehe ich das richtig, dass die Menge E dann auch nicht
> beschränkt ist?
Was heißt dann ? E ist nicht beschränkt, also auch nicht kompakt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 12.07.2014 | | Autor: | am121991 |
Ich dachte E wäre beschränkt, deshalb wollte ich Kompaktheit überprüfen. Aber in dem Fall ist E dann ja nicht beschränkt. Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 12.07.2014 | | Autor: | fred97 |
E ist nicht beschränkt
fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 12.07.2014 | | Autor: | am121991 |
Jetzt kommt die ultimative Masterfrage: Wie sieht das ganze jetzt in [mm] l^2 [/mm] aus? Und warum gibts da so viel Unterschied?
|
|
|
| |
|
Hiho,
all die Fragen kannst du dir selbst beantworten, wenn du dir mal den Unterschied zwischen [mm] \summe_{i=1}^\infty \bruch{1}{i} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^\infty \bruch{1}{i^2} [/mm] klar machst.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hiho,
da hatte ich hier doch glatt was Falsches geschrieben.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 So 13.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> so wie du die Aufgabe gestellt hast, muss ich fred leider
> widersprechen, deine Menge ist kompakt, da sie nur die
> beiden Elemente [mm](1,0,0,0,\ldots)[/mm] und [mm](0,0,0,\ldots)[/mm]
> enthält.
Das verstehe ich nun gar nicht.
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist doch
$ [mm] x^{(n)}:=(1, \bruch{1}{2}, [/mm] ...., [mm] \bruch{1}{n},0,....) \in [/mm] E$,
denn
[mm] x_i^{(n)}=\bruch{1}{i} [/mm] für i=1,...,n und [mm] x_i^{(n)}=0 [/mm] für i>n.
FRED
>
> Gruß,
> Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 So 13.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Guten Morgen,
laut Aufgabensteller geht es ja um [mm] $l^1(\IN)$, [/mm] d.h. die Folgen aus [mm] l^1 [/mm] mit Folgengliedern aus [mm] $\IN$ [/mm] (wobei es schon seltsam ist nur diese zu betrachten).
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 So 13.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
>
> laut Aufgabensteller geht es ja um [mm]l^1(\IN)[/mm], d.h. die
> Folgen aus [mm]l^1[/mm] mit Folgengliedern aus [mm]\IN[/mm]
Das ist eine falsche Auffasung !
[mm] l^1(\IN) [/mm] besteht aus allen reellen (oder komplexen) Folgen [mm] (x_i) [/mm] mit
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}|x_i| [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Gruß FRED
P.S: Du fasst ja [mm] L^1(A) [/mm] auch nicht auf als eine Menge von Funktionen, die Werte in A annehmem.
> (wobei es schon
> seltsam ist nur diese zu betrachten).
>
> Gruß,
> Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 So 13.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Das ist eine falsche Auffasung !
Da muss ich dir wohl zustimmen.... Da Folgen immer eine Abbildung aus [mm] \IN [/mm] sind, machte für mich das [mm] \IN [/mm] da nur in dem von mir beschriebenen Sinne Sinn.
Ich wurde aber ![[]](/images/popup.gif) hier eines besseren belehrt.
Danke für die Korrektur.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
