Kompl. Gl. suche Lösungsweg < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 26.02.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Gesucht sind alles komplexen Lösungen der Gleichung
[mm] z^{3} [/mm] + [mm] \wurzel{8} [/mm] = 0
In der Form z = x +yi |
Ich bin das zunächst so vorgegangen:
[mm] z^{3} [/mm] = - [mm] \wurzel{8}
[/mm]
[mm] z^{6} [/mm] = 8
Nun muss ich das ganze irgendwie in Polarkoordinatendarstellung bringen und dabei habe ich immer meine Probleme:
[mm] z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] (cos [mm] \bruch{\alpha + 2k\pi}{n} [/mm] + i sin [mm] \bruch{\alpha + 2k\pi}{n})
[/mm]
wobei k = 0,1,2 ... n-1
Da z = [mm] \wurzel[6]{8} \Rightarrow [/mm] r = [mm] |\wurzel[6]{8}|
[/mm]
Soweit so gut, wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob das soweit richtig ist. Nun mein Problem, wie berechne ich [mm] \alpha? [/mm] Denn sobald ich [mm] \alpha [/mm] habe kann ich ja alles ausrechnen.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Do 26.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Durch das Quadrieren (was keine Äquivalenzumformung darstellt!) verdoppelst Du die Anzahl der (vermeintlichen) Lösungen.
Bleibe also bei:
[mm] $$z^3 [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{8} [/mm] \ = \ [mm] -2*\wurzel{2}$$
[/mm]
Den Winkel erhältst Du am schnellsten mittels Anschauung der Gauß'schen Zahlenebene.
Alle negativen reellen Zahlen haben den Winkel [mm] $\alpha [/mm] \ = \ -90°$ bzw. [mm] $\alpha' [/mm] \ = \ 270°$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 26.02.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | -8 = - 2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] ? |
Wieso das?
Wenn ich das ausreche bekomme ich -2,828427125....
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 26.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Sorry, da hatte das Tippfehlerteufelchen wieder zugeschlagen. Es muss natürlich heißen:
[mm] $$z^3 [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{8} [/mm] \ = \ [mm] -2*\wurzel{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Do 26.02.2009 | | Autor: | ganzir |
Hallo Loddar,
danke schonmal soweit,
http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle
Wenn ich mir das hier so anschaue, dann macht es für mich aber eher den Eindruck als würden negative Zahlen aus [mm] \IR [/mm] bei 180° also genau bei [mm] \pi [/mm] liegen.
Heißt dann
[mm] z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] (cos [mm] \bruch{\pi+ 2k\pi}{n} [/mm] + i sin [mm] \bruch{\pi + 2k\pi}{n})
[/mm]
Dann müsste ich jetzt nur noch
[mm] \wurzel[3]{-\wurzel{8}}
[/mm]
Berechnen um der Wert vor der Klammer zu ermitteln, dafür habe ich -1,414213562.... raus. Das sieht sehr krumm aus, gibt es eine möglichkeit das eleganter zu schreiben?
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Hallo ganzir,
> Hallo Loddar,
>
> danke schonmal soweit,
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle
>
> Wenn ich mir das hier so anschaue, dann macht es für mich
> aber eher den Eindruck als würden negative Zahlen aus [mm]\IR[/mm]
> bei 180° also genau bei [mm]\pi[/mm] liegen.
Die jenigen Zahlen mit negativen Realteil und Imaginärteil 0.
>
> Heißt dann
>
> [mm]z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{r}[/mm] (cos [mm]\bruch{\pi+ 2k\pi}{n}[/mm] + i
> sin [mm]\bruch{\pi + 2k\pi}{n})[/mm]
>
> Dann müsste ich jetzt nur noch
> [mm]\wurzel[3]{-\wurzel{8}}[/mm]
>
> Berechnen um der Wert vor der Klammer zu ermitteln, dafür
> habe ich -1,414213562.... raus. Das sieht sehr krumm aus,
> gibt es eine möglichkeit das eleganter zu schreiben?
Da der Radius r eine positive Zahl ist, ist hier
[mm]\wurzel[3]{\wurzel{8}}[/mm]
zu berechnen.
[mm]\wurzel[3]{\wurzel{8}}=\wurzel[3]{\wurzel{2^{3}}}=\wurzel[3]{2^{\bruch{3}{2}}}=2^{\bruch{1}{2}}=\wurzel{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Do 26.02.2009 | | Autor: | ganzir |
Besten Dank.
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