Komplanare Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die gegebenen Vektoren komplanar sind :
[mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 4} [/mm] , [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ -8}
[/mm]
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Hallo!
Könntet ihr mir bitte bei der Aufgabe oben helfen?
Ich hab versucht sie mit dem Ansatz
[mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 4} [/mm] = r * [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 4} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ -8} [/mm] zu lösen und bin dann lediglich auf
[mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 4} [/mm] = 0 * [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 4} [/mm] - 0,5 * [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ -8} [/mm] gekommen.
Aber darf denn überhaupt das r im Ansatz 0 sein? Dann könnte man ja sonst irgendeinen beliebigen Vektor an Stelle von dem oben einsetzen - wenn r 0 ist, dann würde das ja gehen....?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Hast alles richtig gemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Nima |
Danke für die schnelle Antwort!
Und wenn man drei Vektoren hat, von denen sich zwei als Linearkombinationen der anderen darstellen lassen aber einer der drei nicht, sind dann die Vektoren trotzdem komplanar?
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Hallo,
Punkte sind komplanar wenn sie in einer Ebene liegen. Das können wir nun auf Vektoren ausweiten wobei allerding ein Vektor nicht anderes al ein Punkt ist  . Also Vektoren sind komplanar wenn sie linear abhängig voneinander sind. Liegen beispielsweise zwei Vektoren in einer Ebene und der dritte nicht dann sind nur die zwei Vektoren die in einer Ebene liegen, komplanar.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Di 29.07.2008 | | Autor: | Nima |
Aber dann sind doch die drei Vektoren in der Aufgabenstellung gar nicht komplanar, sie liegen ja nicht auf einer Ebene...obwohl die Aufgabenstellung selber sagt, dass sie komplanar wären !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Di 29.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Nima,
was heißt denn komplanar? Ich habe zwei Vektoren, die den gleichen Richtsinn haben. Ich kann also den einen durch die Multiplikation mit einem Skalar in den anderen überführen. Nun sollen es drei Vektoren sein, von denen zwei komplanar sind. Da ich zwei von dreien in einander überführen kann, reicht es doch dann aus, mit zweien eine Ebene zu basteln. Anders gesagt: wenn von drei Vektoren zwei komplanar sind, so liegen die drei immer in einer Ebene.
Dass die Vektoren B und C linear abhängig sind, ist unschwer zu erkennen. Wenn du das zeigen sollst, dann wende den Gauß-Algo an und zeige, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Also liegen sie alle in einer Ebene und sind somit komplanar.
Die Ebenengleichung in deinem Beispiel lautet übrigens:
[mm] E:0*x_1-4*x_2+1*x_3=0
[/mm]
Grüße
Smarty
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