Komplanaritaet < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 08.03.2005 | | Autor: | teksen |
Gegeben ist das raeumliche Viereck ABCD durch A(3/1/3); B(6/4/5); C(7.5/1/6) und D(4/1/8).
[1] Zeigen Sie dass D nicht in der Ebene durch ABC liegt.
[2] Berechnen Sie das Volumen von ABCD.
So muss ich ja erstmal die Ebene aufspannen. Dazu brauch ich einen Stuetzvektor und zwei Richtungsvektoren - right ?
Dann haette ich die Ebene:
E: x = (3/1/3) + r * (3/3/2) + s *(4.5/0/3)
Was muss ich jetzt weiter machen ?
Wie koennte ich diese Ebene in Koordinatenform oder Hessische Normalenform umformen ?
Waere nett wenn das mal jmd vorrechnen koennte damit ich das nachvollziehen kann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Di 08.03.2005 | | Autor: | Vassago |
Mohoin...
Um zu zeigen, dass D nicht in der Ebene [mm] E_{ABC} [/mm] liegt, kenne ich drei Wege, und bestimmt gibt es noch mehr:
Derjenige, der am einfachsten zu rechnen ist, ist dieser:
Du machst die drei Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} \overrightarrow{AC} \overrightarrow{AD}
[/mm]
Also hier:
[mm] \pmat{6-3 \\ 4-1 \\ 5-3} [/mm] = [mm] \pmat{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] \pmat{4.5 \\ 0 \\ 3} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 5} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AD}
[/mm]
Wenn diese drei Vektoren in einer Ebene liegen, sind sie komplanar, d.h. man kann sie durcheinander ausdrücken, sodass sie den Nullvektor ergeben.
[mm] \vec{o}= \lambda\pmat{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu\pmat{4.5 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \nu\pmat{ 1 \\ 0 \\ 5 }
[/mm]
Nun kannst du entweder das Gleichungssystem direkt lösen, oder nach Cramer'scher Regel wissen, dass das Gleichungssystem nur dann lösbar ist, wenn die Determinante D [mm] \not= [/mm] 0 ist... Wenn sie gleich 0 wird, sind die Vektoren komplanar:
D = [mm] \vmat [/mm] {{3 [mm] \\ [/mm] 3 [mm] \\ [/mm] 3} & {4.5 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 3} & {1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 5} } = -58.5 [mm] \not= [/mm] 0
Sie sind folglich nicht komplanar.
Es geht auch über die Parameter-Gleichung der Ebene [mm] E_{ABC}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda(\vec{b}-\vec{a}) [/mm] + [mm] \mu(\vec{c}-\vec{a})
[/mm]
Wenn der Punkt D in der Ebene E liegt, müsste der Ortsvektor von [mm] \vec{d} [/mm] als [mm] \vec{x} [/mm] ausdrückbar sein und [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] dann Lösungen haben.
[mm] \vec{d}=\vec{a}+\lambda(\vec{u}) [/mm] + [mm] \mu (\vec{v})
[/mm]
Haben [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] für alle drei Gleichungen gültiger Lösungen, wäre D in der Ebene, auch das funktioniert nicht - ich überlasse dir die Rechnung *g*
Der dritte Weg ist der komplizierste, aber da du sowieso zur Hesse-Normalform hin willst, kannst du ihn machen. Wenn der Abstand des Punktes D zur Ebenen [mm] \not= [/mm] 0 ist, kann D nicht in der Ebene liegen.
Wir machen also das Kreuzprodukt der Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] :
[mm] \vec{u}\times\vec{v}=\vmat{ 3 \\ 3 \\ 3 & 4.5 \\ 0 \\ 3 & \vec{e_{1}} \\ \vec{e_{2}} \\ \vec_{e_{3}}} \Rightarrow \vec{n}= \lambda\pmat{ 2 \\ 1 \\ -3 }
[/mm]
[mm] \vmat{\vec{u}}=\wurzel{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}=\wurzel{14}
[/mm]
Die Hesse-Normalform ist definiert mit:
[mm] \vec{n}^{0}\vec{x}-\vec{n}^{0}\vec{a}= [/mm] 0
[mm] \vec{n}^{0} [/mm] ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene, (also ein kollinearer Vektor zu dem Normalenvektor mit dem Betrag 1)
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{1}{\Wurzel{14}}*\pmat{2 \\ 1 \\ -3}\vec{x}+\bruch{2}{\Wurzel{14}}=0
[/mm]
Das Element [mm] \vec{n}^{0}\vec{a} [/mm] soll immer positiv, dessen Vorzeichen also Minus sein, damit der Normalenvektor vom Ursprung zur Ebenen zeigt - kann man nachweisen.
[mm] \bruch{1}{\Wurzel{14}}*\pmat{-2 \\ -1 \\ 3} \vec{x}- \bruch{2}{\Wurzel{14}}=0 [/mm] //es soll hier eigtl durch [mm] \Wurzel{14} [/mm] heißen, aber irgendwie macht LaTex das nicht, oder ich weiß nicht, wie
Nun setzt du für [mm] \vec{d} [/mm] ein, und erhältst einen Abstand - hoffentlich ungleich null.
Womit wir schon bei [2] wären,... aber ich habe schon genug getextet, oder? 
CU
Vassago
|
|
|
|
