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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 So 09.01.2005 | | Autor: | wee |
Grüße an alle Matheinteressierten,
ich habe diese Frage in keinen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um folgende Aufgabe:
In K gelte [mm] 1+1\not=0. [/mm] Für die lineare Abb. F: [mm] V\toV [/mm] des K-Vektorraumes V gelte [mm] f\circf =id_v.
[/mm]
a) Sei [mm] V^+=\{v\inV; f(v)=v\}, V^-=\{v\inV; f(v)=-v\}. [/mm] Zeige [mm] V^+\cap [/mm] V^-={0} und V^++V^-=V.
b) Es gibt eine Basis von V, sodass die darstellende Matrix [mm] A_f [/mm] von f bezüglich dieser Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Einträge auf der Diagonalen alle in {-1,1} liegen.
Meine Idee war, V^-:={0} zu definieren, dann wäre a) schnell gezeigt, dass Problem ist nur, dass ich keinen Eindeutigkeitsbeweis für meine Idee finde. Außerdem würde in Teil b) dann die Einheitsmatrix genügen, wenn man die kanonische Basis wählt. Nur benötigt man ja dafür nicht das gesamte Intervall, aulo kann das so richtig auch nicht sein.
Bitte um Hilfe, danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Noch ein wichtiger Hinweis an alle Leser:
oben in den Formeln stecken noch Fehler, die man erst erkennt, wenn man sie anklickt (f°f soll die Identität sein, usw...)
@wee
Hi,
also dass der Schnitt nur die Null ist ist simpel, denn es ist das einzige Element, das $ f(v)=v=-v=f(v) $ erfüllt. (2 ungleich 0)
Dafür, dass es zusammen ganz V ergibt, musst du dir überlegen, dass es keine andere Möglichkeit gibt, als auf v oder -v abzubilden
da muss ich aber auch nochmal kurz drüber nachdenken.
zur b) bei der a) hast du gezeigt, dass du eine direkte Summe hast - oder ein Komplementärraum - je nachdem, wie ihr das genannt habt - es sind beides UnterVRs (evtl. zu zeigen!)
Jetzt wähle ein Basis von V^+ und ergänze diese mit ein paar lin.unabhängigen Vektoren aus V^- zu einer Basis von V.
Die Abbildungsmatrix hat dann die gewünschte Form.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
zu der zweiten Sache bei a) : Ich weiß nicht, ob es ohne Zusatzvorraussetzungen überhaupt möglich ist, dass die Aufgabe so stimmt - wenn f einen Eigenwert hat, kann man schnell nachweisen, dass dieser nur 1 oder -1 sein kann, aber es steht ja noch nichtmal fest, dass f einen hat - geschweige denn dimV-viele...
ich warte jetzt erstmal ab, bis wee seine/ihre Aufgabe nochmals geprüft bzw. korregiert hat - vielleicht komt mehr hinzu als bisher
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 09.01.2005 | | Autor: | wee |
sorry wegen der späten Antwort.
zu b) wenn ich nun von V^- ={0} ausgehen kann, dann kann ich doch einfach die kanonische Basis von V wählen. Dann hätten die Einträge jedoch nur 1 und 0. Oder mache ich einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mo 10.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also unter der VORRAUSSETZUNG, dass die direkte Summe so existiert, wie es in a) beschrieben ist und V^-={0}, dann ist V^+=V
also gilt für alle v : f(v)=v, das bedeutet, sie sind alle Eigenvektoren zum Eigenwert 1
nimm irgendeine Basis, dann hast du als Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix !
Aber ich muss mir das mit der direkten Summe nochmals genau überlegen...
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 10.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Wee und DaMenge
Wenn [mm]F^2=1[/mm]. Dann folgt [mm]F^2-1=0[/mm].
Das heisst, dass für das Polynom [mm]P(x)=x^2-1[/mm] gilt, dass P(F)=0.
Jetzt zerfällt [mm]P(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)[/mm] in verschiedene Linearfaktoren, da
[mm]1\not=-1[/mm]. Nach einem Satz, ist dann F diagonalisierbar. Und das Problem
ist mit den anderen Antworten gelöst.
Wenn man diesen Satz nicht anwenden will. Kann man direkt
aus [mm](F+1)(F-1)=0[/mm], schliessen, dass V die direkte Summe ist
der Eigenräume zu den Eigenwerten -1 und 1 (ist eine nette
Uebungsaufgabe).
mfG Moudi
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