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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Dummy86 |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IR^{4} [/mm] der Lösungsraum des Gleichungssystems
x + y + z + u = 0
x + 2y + 3z + 4u = 0
(a) Finde eine Basis zu U
(B) Finde eine Basis eines Komplementäraumes zu U [mm] \subset \IR^{4}
[/mm]
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zu (a)
Nachdem ich, dass Gleichungssystem aufgelöst habe komme ich auf die Lösung
x= 3 z + 4u
y= -2 z -3 u
Da das Gleichungssytem unterbestimmt ist und x, y frei wählbar
[mm] \Rightarrow \vektor{3 z + 4u\\ -2 z -3 u \\ z \\ u} [/mm] ist der Lösungsraum der diese Gleichungen erfüllt
bzw. [mm] \vektor{3 z + 4u\\ -2 z -3 u \\ z \\ U} [/mm] = z [mm] *\vektor{3\\ -2 \\1 \\0} [/mm] + z [mm] *\vektor{4\\ -3 \\0 \\1}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] wenn [mm] \vektor{3\\ -2 \\1 \\0} [/mm] und [mm] \vektor{4\\ -3 \\0 \\1} [/mm] linear unabh. sind dass sie die Basis des Teilraums bilden
zu (b)
Sei V = [mm] \IR^4 [/mm] ; U = der Unterraum aus aufgabe (a) ; W = der Komplemntärraum
Für Komplementärraume muss gelten, dass U + W = V und U [mm] \cap [/mm] W= {0}
Muss ich jetzt für W = [mm] \vektor{a\\b\\c\\d} [/mm] zeigen, dass gilt [mm] x*\vektor{3\\ -2 \\1 \\0} [/mm] + [mm] y*\vektor{4\\ -3 \\0 \\1} [/mm] + [mm] z*\vektor{a\\b\\c\\d}= [/mm] 0 und dass es nur die trivial Lösung gibt x=y=z=0
und was ist mit U+W=V? Die Addition der Basen von U und W ergibt ja nur 3 basen und V hat 4 Basen also kann u+ W doch nicht V erzeugen??
kann mir einer helfen
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> Sei U [mm]\subset \IR^{4}[/mm] der Lösungsraum des
> Gleichungssystems
>
> x + y + z + u = 0
> x + 2y + 3z + 4u = 0
>
> (a) Finde eine Basis zu U
> (B) Finde eine Basis eines Komplementäraumes zu U [mm]\subset \IR^{4}[/mm]
>
>
> zu (a)
> Nachdem ich, dass Gleichungssystem aufgelöst habe komme ich
> auf die Lösung
>
> x= 3 z + 4u
> y= -2 z -3 u
Hallo,
das solltest Du nochmal prüfen, das stimmt nicht.
Ansonsten sieht das Prinzip dessen, was Du zu tun gedenkst, richtig aus.
> zu (b)
> Sei V = [mm]\IR^4[/mm] ; U = der Unterraum aus aufgabe (a) ; W = der
> Komplemntärraum
> Für Komplementärraume muss gelten, dass U + W = V und U
> [mm]\cap[/mm] W= {0}
Genau.
Was Du tun mußt ist folgendes: ergänze die Basis v. U durch zwei Vektoren zu einer Basis v. [mm] \IR^4.
[/mm]
Diese beiden Vektoren sind es, die den Komplementärraum W aufspannen.
>
> Die Addition der Basen
Hä???
> ergibt ja nur 3 basen
???
> und V hat 4 Basen
Nein. Man kann unendlich viele Basen von V finden.
Die haben allerdings eines gemeinsam: alle diese Basen bestehen aus 4 Basisvektoren...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Di 04.12.2007 | | Autor: | Dummy86 |
Oh Sorry, ich meinte ja 4 Basisvektoren und nicht 4 Basen
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