Komplex-konjugierte Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 13.07.2004 | | Autor: | sethia |
Hallo,
ich sitze hier vor folgender Aufgabe und bin halb am Verzweifeln, weil ich leider gar nicht weiß, wie ich sie lösen bzw. angehen soll:
Gegeben sind die beiden komplex-konjugierten Punkte 1 [mm] \pm [/mm] 2i. Man bestimme ein Polynom mit reellen Koeffizienten, das die beiden Punkte als Nullstellen besitzt.
Vielen Dank für Eure Hilfe und liebe Grüße
sethia
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sethia
wie würde man denn die Aufgabe lösen, wenn die beiden Punkte nicht konjugiert komplex wären, sondern beide reel, wie zum Beispiel: $2$und $3$?
Ich würde das dann so machen:
$p(x) = (x-2)*(x-3) = [mm] x^{2}-5x+6$
[/mm]
Und auf die genau gleiche Art und Weise kannst du auch dein gegebenes Problem lösen:
Wenn die beiden Nullstellen [mm] $\lambda_{1}$ [/mm] und [mm] $\lambda_{2}$ [/mm] sind, berechnest du das Polynom so:
$p(x) = [mm] (x-\lambda_{1})*(x-\lambda_{2})$
[/mm]
...und das ist noch auszumultiplizieren.
Bei dir ist jetzt einfach [mm] $\lambda_{1} [/mm] = 1 + 2i$ und [mm] $\lambda_{2} [/mm] = 1 - 2i$
Kannst du das auf diese Art mal versuchen? Ein wenig Konzentration ist bei den Vorzeichen nötig, evtl. im ersten Schritt Klammern setzen, also:
$(x-(1+2i))$
und so weiter.
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 13.07.2004 | | Autor: | sethia |
Hallo Paulus,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Hab das mal ausmultipliziert, wie du geschrieben hast:
[mm] p(x) = (x-(1+2i))(x-(1-2i)) [/mm]
dann komme ich auf:
[mm] p(x) = x^2 -2x + 5 [/mm]
Ist das denn nun schon die richtige Lösung?
Viele Grüße
sethia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 13.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Sethia!
> Hab das mal
> ausmultipliziert, wie du geschrieben hast:
>
> [mm]p(x) = (x-(1+2i))(x-(1-2i))[/mm]
>
> dann komme ich auf:
>
> [mm]p(x) = x^2 -2x + 5[/mm]
>
> Ist das denn nun schon die richtige Lösung?
Ja, klar. Probieren wir es doch mal aus:
[mm] $(1+2i)^2 [/mm] - 2(1+2i) + 5 = 1 + 4i - 4 - 2 - 4i + 5 = 0$.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie kann ich daraus jetzt (ohne Rechnung!) folgern, dass auch $1-2i$ eine Nullstelle ist?
Hast du eine Idee?
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 13.07.2004 | | Autor: | sethia |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine Hilfe.
Deine Zusatzfrage würde ich mit dem Fundamentalsatz der Algebra beantworten:
Jedes nichtkonstante Polynom vom Grad n besitzt n Nullstellen im Körper der komplexen Zahlen, weshalb auch 1-2i eine Lösung sein muss.
Ist das richtig?
Liebe Grüße
sethia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sethia
wenngleich du nur Julius begrüsst hast, so erlaubst du doch, dass ich mich wieder melde? Julius verzeiht mir das bestimmt, so wie ich seine Sanftmütigkeit kenne! 
> Hallo Julius,
>
> vielen Dank für deine Hilfe.
> Deine Zusatzfrage würde ich mit dem Fundamentalsatz der
> Algebra beantworten:
>
> Jedes nichtkonstante Polynom vom Grad n besitzt n
> Nullstellen im Körper der komplexen Zahlen, weshalb auch
> 1-2i eine Lösung sein muss.
>
> Ist das richtig?
>
Nein, das ist nicht richtig! Das mit den n Nullstellen stimmt zwar (wenn man auch noch die Mehrfachheiten berücksichtigt), aber die Begründung ist nicht so gut ausgefallen.
Kleines Gegenbeispiel:
$p(x) = [mm] x^{2}-3x+3-i$ [/mm] hat die Nullstellen $1-i$ und $2+i$.
Diese beiden Nullstellen sind nicht konjugiert komplex.
Vielleicht fällt dir auf, dass nicht alle Koeffizienten meines Gegenbeispiels reell sind. Vielleich liegt hier der Schlüssel für die richtige Begründung.
Die Frage ist also: hat ein Polynom mit lauter reellen Koeffizienten mit einer Nullstelle immer auch die konjugiert-komplexe Zahl als Nullstelle? Wenn ja, warum.
Falls du des Rätselns überdrüssig wirst, meldest du dich einfach wieder, dann wir dir die Lösung sicher präsentiert.
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 13.07.2004 | | Autor: | sethia |
Lieber Paulus, lieber Julius,
nun, das Gegenbeispiel ist schon irgendwie logisch, aber dennoch habe ich keine vernünftige Antwort auf die Frage. Vielleicht könnt ihr mir auf die Sprünge helfen.
Liebe Grüße
sethia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 13.07.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Sethia!
Es sei $p(x)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten, also:
$p(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1x + [mm] a_0$
[/mm]
mit [mm] $a_i \in \IR$ $(i=0,1,\ldots,n)$.
[/mm]
Zu zeigen ist:
Für eine komplexe Zahl $z [mm] \in \IC$ [/mm] folgt aus $p(z)=0$, dass auch die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl [mm] $\bar{z}$ [/mm] eine Nullstelle von $p(x)$ ist, also:
[mm] $p(\bar{z})=0$.
[/mm]
Wie zeigt man das?
Nun man nimmst sich die Gleichung
$0 = [mm] a_nz^n [/mm] + [mm] a_{n-1}z^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1 [/mm] z + [mm] a_0$ [/mm] $(=p(z))$
und konjugiert beide Seiten:
(*) $0 = [mm] \bar{0} [/mm] = [mm] \overline{a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1 z + a_0}$.
[/mm]
Nun gilt für drei komplexze Zahlen $a,b,c [mm] \in \IC$ [/mm] die Beziehung:
[mm] $\overline{a \cdot b + c} [/mm] = [mm] \overline{a} \cdot \overline{b} [/mm] + [mm] \overline{c}$,
[/mm]
d.h. die komplexe Konjugation ist mit den Körperoperationen (Addition und Multiplikation) verträglich. Daraus folgt aus (*):
$0 = [mm] \overline{a_n} \, \overline{z}^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \overline{a_1} \, \overline{z} [/mm] + [mm] \overline{a_0}$.
[/mm]
Da die [mm] $a_i$ $(i=0,\ldots,n)$ [/mm] reellwertig sind, gilt für alle $i [mm] \in \{0,1,\ldots,n\}$:
[/mm]
[mm] $\overline{a_i} [/mm] = [mm] a_i$, [/mm]
also:
$0 = [mm] a_n \overline{z}^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_1 \overline{z} [/mm] + [mm] a_0$.
[/mm]
Das bedeutet aber gerade:
[mm] $p(\bar{z})=0$,
[/mm]
was wir zeigen wollten.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
