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| Aufgabe | | Eine Matrix [mm] A \in \IR^{nxn} [/mm] ist komplex diagonalisierbar, wenn es eine reguläre Matrix V [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] und eine Diagonalmatrix D [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] gibt, sodass [mm] A=VDV^{-1} [/mm] gilt. |
Hallo!
Das steht so als Bemerkung in einem Buch bevor man einen Satz kennenlernt, der die komplexe Diagonalisierbarkeit einer Matrix verwendet. Ich habe zu diesem Begriff noch nichts gefunden und es würde mich interessieren, ob das als Definition gilt, oder es für komplexe Diagonalisierbarkeit eine andere Definition gibt und das hier nur ein Satz dazu ist.
Ich dachte, komplexe Diagonalisierbarkeit bedeutet einfach, dass eine komplexe Matrix diagonalisierbar ist mit der gleichen Voraussetzung wie eine reelle, nämlich, dass die geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmen. Aber A ist hier reell, daher passt das irgendwie nicht.
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Di 05.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Eine Matrix [mm]A \in \IR^{nxn}[/mm] ist komplex diagonalisierbar,
> wenn es eine reguläre Matrix V [mm]\in \IC^{nxn}[/mm] und eine
> Diagonalmatrix D [mm]\in \IC^{nxn}[/mm] gibt, sodass [mm]A=VDV^{-1}[/mm]
> gilt.
> Hallo!
>
> Das steht so als Bemerkung in einem Buch bevor man einen
> Satz kennenlernt, der die komplexe Diagonalisierbarkeit
> einer Matrix verwendet. Ich habe zu diesem Begriff noch
> nichts gefunden und es würde mich interessieren, ob das
> als Definition gilt, oder es für komplexe
> Diagonalisierbarkeit eine andere Definition gibt und das
> hier nur ein Satz dazu ist.
Obiges kannst Du als Definition nehmen.
> Ich dachte, komplexe Diagonalisierbarkeit bedeutet
> einfach, dass eine komplexe Matrix diagonalisierbar ist mit
> der gleichen Voraussetzung wie eine reelle, nämlich, dass
> die geometrische und algebraische Vielfachheit
> übereinstimmen. Aber A ist hier reell, daher passt das
> irgendwie nicht.
> Kann mir jemand helfen?
Da [mm] \IR \subseteq \IC, [/mm] ist auch [mm] \IR^{nxn} \subseteq \IC^{nxn}.
[/mm]
Mach Dir damit klar: ist $ A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] $ reell diagonalisierbar, so ist $A$ auch komplex diagonalisierbar.
Die Umkehrung ist i.a. falsch:
[mm] $A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] ist komplex diagonalisierbar (warum ?), aber nicht reell diagonalisierbar (warum ?).
FRED
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> Liebe Grüße,
> Lily
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Vielen Dank für deine Antwort!
> > Eine Matrix [mm]A \in \IR^{nxn}[/mm] ist komplex diagonalisierbar,
> > wenn es eine reguläre Matrix V [mm]\in \IC^{nxn}[/mm] und eine
> > Diagonalmatrix D [mm]\in \IC^{nxn}[/mm] gibt, sodass [mm]A=VDV^{-1}[/mm]
> > gilt.
> Da [mm]\IR \subseteq \IC,[/mm] ist auch [mm]\IR^{nxn} \subseteq \IC^{nxn}.[/mm]
>
> Mach Dir damit klar: ist [mm]A \in \IR^{nxn}[/mm] reell
> diagonalisierbar, so ist [mm]A[/mm] auch komplex diagonalisierbar.
>
> Die Umkehrung ist i.a. falsch:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \in \IR^{2 \times 2}[/mm] ist komplex
> diagonalisierbar (warum ?), aber nicht reell
> diagonalisierbar (warum ?).
Ich hab das mal versucht. Zuerst wollte ich zeigen, dass A nicht reell diagonalisierbar ist. Dafür sollten die algebraische und die geometrische Vielfachheit nicht übereinstimmen. Also habe ich die Eigenwerte bestimmt: [mm] \lambda_1=i, \lambda_2=-i [/mm].
Die Eigenvektoren von [mm] \lambda_1 [/mm] sind [mm] v_t [/mm] = [mm] \bruch{t}{it} [/mm] und da t beliebig aus [mm] \IR [/mm] eingesetzt werden kann, ist die Dimension des Eigenraums Eig(A,i) größer als 1, was die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] ist.
Reicht das?
Um zu zeigen, dass A komplex diagonalisierbar ist, wollte ich die obige Definition benutzen. Ich habe also noch die Eigenvektoren zu [mm] \lambda_2 [/mm] berechnet: [mm] w_t [/mm] = [mm] \bruch{t}{-it}. [/mm] Und damit hat man D = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i } [/mm] und V = [mm] \pmat{ t & t \\ it & -it }.
[/mm]
Oder?
Dann habe ich [mm] V^{-1} [/mm] berechnet durch: [mm] \pmat{ t & t & | 1 & 0 \\ it & -it & | 0 & 1 }. [/mm] Damit ist [mm] V^{-1}= \pmat{ \bruch{1}{2t} & \bruch{1}{2it} \\ \bruch{1}{2t} & \bruch{-1}{2it} }
[/mm]
Aber wenn ich nun [mm] VDV^{-1} [/mm] berechne erhalte ich [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ i & 0 } \not= [/mm] A.
Was habe ich falsch gemacht? Bzw wo steckt mein Denkfehler?
Ich wäre über weitere Hilfe sehr dankbar!
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi,
also ich komme auf [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] mit
V*D= [mm] \pmat{ it & -it \\ -t & -t }
[/mm]
LG
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Hallo!
Danke für deine Antwort! Ich hatte einen simplen Übertragungsfehler, bei dem i durch 1 ersetzt wurde :-D
Stimmt denn meine Argumentation dafür, dass A komplex aber nicht reell diagonalisierbar ist?
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 06.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Danke für deine Antwort! Ich hatte einen simplen
> Übertragungsfehler, bei dem i durch 1 ersetzt wurde :-D
>
> Stimmt denn meine Argumentation dafür, dass A komplex aber
> nicht reell diagonalisierbar ist?
A hat keine reellen Eigenwerte. Damit kann A nicht komplex diagonalisierbar sein !
edit: ich meinte natürlich: nicht reell diagonalisierbar
FRED
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> Liebe Grüße, Lily
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> > Stimmt denn meine Argumentation dafür, dass A komplex aber
> > nicht reell diagonalisierbar ist?
>
> A hat keine reellen Eigenwerte. Damit kann A nicht komplex
> diagonalisierbar sein !
Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Aber habe ich dich denn so falsch verstanden bei deiner ersten Antwort? Da meintest du doch, dass das von dir gegebene A komplex diagonalisierbar sei!?
Und in der Definition von komplexer Diagonalisierbarkeit sehe ich keinen Hinweis darauf, dass die Beschaffenheit der Eigenwerte etwas mit Diagonalisierbarkeit zu tun hat.
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mi 06.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Wie war das: Eine Matrix $ A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] $ ist komplex diagonalisierbar, wenn es eine reguläre Matrix V $ [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] $ und eine Diagonalmatrix D $ [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] $ gibt, sodass $ [mm] A=VDV^{-1} [/mm] $ gilt.
Ebenso:
Eine Matrix $ A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] $ istreell diagonalisierbar, wenn es eine reguläre Matrix V $ [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] $ und eine Diagonalmatrix D $ [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] $ gibt, sodass $ [mm] A=VDV^{-1} [/mm] $ gilt.
Wie auch immer: Dir scheint nicht klar zu sein, dass die Diagonalelemente in D gerade die Eigenwerte von A sind.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mi 06.07.2016 | | Autor: | Chris84 |
Hallo Mathe-Lilly, hallo Fred,
ich glaube, Fred hat sich einfach verschrieben. Da $A$ keine reellen Eigenwerte hat, kann $A$ nicht reell diagonalisierbar sein (nicht "nicht komplex").
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mi 06.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathe-Lilly, hallo Fred,
>
> ich glaube, Fred hat sich einfach verschrieben. Da [mm]A[/mm] keine
> reellen Eigenwerte hat, kann [mm]A[/mm] nicht reell diagonalisierbar
> sein (nicht "nicht komplex").
ja, danke, ich hatte mich verschrieben
fred
>
> Gruss,
> Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Do 07.07.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso, ja gut, dann verstehe ich deinen Hinweis. Danke! 
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