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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 26.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Ist [mm] f(z)=\bruch{sinh(z)}{z} [/mm] für z [mm] \not=0 [/mm] und f(z)=1 für z=0 holomorph auf [mm] D_1(0)? [/mm] |
Hallo,
mir ist klar dass nur die Holomorphie im Nullpunkt zu untersuchen ist. Wie soll ich hier am besten vorgehen? Mit der Definition der komplexen Differenzierbarkeit , also [mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{sinh(h)-1}{h^2}
[/mm]
Da käme ja als GW 0 heraus...
Noch eine grundsätzliche Frage habe ich (unabhängig von diesem Thema: gilt Folgendes: [mm] |e^z|=e^{|z|} [/mm] für z [mm] \in D_r(0) [/mm] mit r>0
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So etwas untersucht man am besten mit Potenzreihen. Die von [mm]\sinh z[/mm] ist ja bekannt und beginnt mit ...? Ja, womit?
Für kanonisch [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] gilt: [mm]\left| \operatorname{e}^z \right| = \operatorname{e}^x[/mm]
Oder auch so: [mm]\left| \operatorname{e}^z \right| = \operatorname{e^{\operatorname{Re}(z)}}[/mm]
Das ergibt sich leicht aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 26.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Für den Grenzwert habe ich nun 0 raus. Was kann ich daraus folgern hinsichtlich der Holomorphie?
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[mm]\sinh z = z + \frac{1}{3!} \cdot z^3 + \frac{1}{5!} \cdot z^5 + \ldots[/mm]
[mm]\frac{\sinh z}{z} = 1 + \frac{1}{3!} \cdot z^2 + \frac{1}{5!} \cdot z^4 + \ldots[/mm]
Wie kann da für [mm]z \to 0[/mm] der Grenzwert 0 sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:42 Mo 27.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Dieser GW ist ja gar nicht gefragt. Gesucht ist der GW von [mm] (sinh(h)-h)/h^2 [/mm] für h gg 0. Der ergibt sich aus der Definition der komplexen Diffbarkeit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mo 27.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dieser GW ist ja gar nicht gefragt. Gesucht ist der GW von
> [mm](sinh(h)-h)/h^2[/mm] für h gg 0. Der ergibt sich aus der
> Definition der komplexen Diffbarkeit.
Damit ist f in 0 komplex diffbar
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mo 27.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Wie ,,damit'' ist f komplex diffbar? Der GW muss ja erst mal bestimmt werden mit Hilfe der Reihendarstellung. Was sollte dann heraus kommen?
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Wir haben offenbar von verschiedenen Termen und ihren Grenzwerten gesprochen. Ich übernehme jetzt einmal deine Version. Du stellst direkt den Differenzenquotienten der Funktion [mm]f(z) = \frac{\sinh z}{z}[/mm] an der Stelle [mm]z_0 = 0[/mm] auf und untersuchst ihn. Nach deinen eigenen Worten "Für den Grenzwert habe ich nun 0 raus" hast du den Grenzwert bestimmt, ohne uns allerdings zu verraten, wie du es getan hast. Damit klar ist, wovon wir reden:
[mm]\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sinh h - h}{h^2} \underbrace{= 0}_{\text{von dir behauptet}}[/mm]
Deshalb konnte fred97 zurecht sagen: "Damit ist f in 0 komplex diffbar."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Di 28.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Was ich mich ja nur gefragt hatte: Warum muss 0 raus kommen damit es komplex diffbar ist. Was wäre z.B. gewesen, wenn 1 raus gekommen wäre?
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Das ist ein Mißverständnis. Auch wenn 28,072015 herausgekommen wäre, wäre f komplex differenzierbar.
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