Komplexe -> reelle Jordan-Form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Fr 07.09.2012 | | Autor: | ralpho |
| Aufgabe | | Man bestimme die komplexe und reelle Jordan Normalform der Matrix [mm]A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
Ich habe nur eine kleine Frage: Die komplexe Jordan-Normalform konnte ich relativ einfach nach Kochrezept bestimmen. Sie lautet [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}-\frac{i*\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}+\frac{i*\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}[/mm]
Nun habe ich drei kleine Fragen dazu:
1. Ist es egal wie ich die Kästchen anordne?
2. Haben die zwei konjugierten Eigenwerte immer die gleiche Anzahl bzw Größe der Kästchen?
3. Kann ich nun einfach von der komplexen auf diese reelle JNF schließen: [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{i*\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{i*\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}[/mm]? Also einfach die Kästchen zu den konj. EW "umschreiben"?
Herzlichen Dank
Ralph
|
|
| |
|
Hallo ralpho,
> Man bestimme die komplexe und reelle Jordan Normalform der
> Matrix [mm]A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo,
> Ich habe nur eine kleine Frage: Die komplexe
> Jordan-Normalform konnte ich relativ einfach nach
> Kochrezept bestimmen. Sie lautet [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}-\frac{i*\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}+\frac{i*\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Nun habe ich drei kleine Fragen dazu:
>
> 1. Ist es egal wie ich die Kästchen anordne?
Ja, da die JNF bis auf Permutation eindeutig ist.
> 2. Haben die zwei konjugierten Eigenwerte immer die
> gleiche Anzahl bzw Größe der Kästchen?
Im Falle einer reellen Matrix ist das so.
> 3. Kann ich nun einfach von der komplexen auf diese reelle
> JNF schließen: [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{i*\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{i*\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}[/mm]?
> Also einfach die Kästchen zu den konj. EW "umschreiben"?
>
In der reellen JNF stehen doch nur reelle Zahlenwerte,
daher lautet die reelle JNF:
[mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}[/mm]
> Herzlichen Dank
> Ralph
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Sa 08.09.2012 | | Autor: | ralpho |
Danke!
Ich meinte natürlich nur den reellen Teil. Aber so hab ich mir das gedacht, gut wenn das so stimmt :D
|
|
|
|
