Komplexe DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
| Aufgabe | die folgende DGL gilt es komplex zu lösen:
[mm] \1u''(t)+u(t)=8cos(t)cos(2t)
[/mm]
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Hallo
Folgenden Lösungweg hab ich bereits:
1. Nullstellenbestimmung: [mm] \lambda1,2=+-i
[/mm]
komplexes Fundamentalsystem: [mm] {e^{it},e^{-it}}
[/mm]
Ansatz für homogene Lösung:
[mm] {uh=C1*e^{it}+C2*e^{-it}} [/mm] RICHTIG?
jetzt möchte ich einen speziellen Ansatz der trigonometrischen Funktion auf der Rechten Seite nutzen:
dazu forme ich die rechte Seite mit Hilfe von Additionstheoremen um:
[mm] 8cos(t)cos(2t)=16cos(t)^{3}+8cos(t) [/mm] RICHTIG?
tja und jetzt weiß ich leider nicht wie ich das auf meinen Ansatz bringen soll:
[mm] up=q(t)*e^{\lambda*t}
[/mm]
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Hallo tony90,
> die folgende DGL gilt es komplex zu lösen:
>
> [mm]\1u''(t)+u(t)=8cos(t)cos(2t)[/mm]
>
>
> Hallo
>
> Folgenden Lösungweg hab ich bereits:
>
> 1. Nullstellenbestimmung: [mm]\lambda1,2=+-i[/mm]
>
> komplexes Fundamentalsystem: [mm]{e^{it},e^{-it}}[/mm]
>
> Ansatz für homogene Lösung:
>
> [mm]{uh=C1*e^{it}+C2*e^{-it}}[/mm]
> RICHTIG?
>
>
> jetzt möchte ich einen speziellen Ansatz der
> trigonometrischen Funktion auf der Rechten Seite nutzen:
>
> dazu forme ich die rechte Seite mit Hilfe von
> Additionstheoremen um:
>
> [mm]8cos(t)cos(2t)=16cos(t)^{3}+8cos(t)[/mm]
> RICHTIG?
>
> tja und jetzt weiß ich leider nicht wie ich das auf meinen
> Ansatz bringen soll:
>
>
> [mm]up=q(t)*e^{\lambda*t}[/mm]
Mit Hilfe von Additionstheoremen kannst Du die Störfunktion schreiben als
[mm]2*\cos\left(t\right)*\cos\left(2*t\right)=\cos\left(2t+t\right)+\cos\left(2t-t\right)[/mm]
Dann wendest Du die Eulersche Identiät an.
Hieraus ergibt sich dann der Ansatz den Du wählen mußt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
Alles Klar.... also soweit umschreiben das keine produkte und potenzen mehr auftreten:
--> 4*(cos(t)+cos(3t) = B(t)
jetzt schreibe ich:
[mm] 4*(cos(t)+cos(3t)=4*Re(e^{it}+e^{3it})
[/mm]
[mm] up=c3*4e^{it}+c4*4*e^{3it}
[/mm]
mit Hilfe von Differentialoperatoren stell ich das nun so auf:
[mm] p(D)*up=(D-iE)*(D+iE)*(c3*4e^{it}+c4*4*e^{3it})
[/mm]
so und jetzt weiß ich leider nicht wie es weitergeht...
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Hallo tony90,
> Alles Klar.... also soweit umschreiben das keine produkte
> und potenzen mehr auftreten:
>
>
> --> 4*(cos(t)+cos(3t) = B(t)
>
> jetzt schreibe ich:
>
> [mm]4*(cos(t)+cos(3t)=4*Re(e^{it}+e^{3it})[/mm]
>
> [mm]up=c3*4e^{it}+c4*4*e^{3it}[/mm]
Beachte hier, daß [mm]e^{it}[/mm] auch Lösung der homogenen DGL ist.
Demnach mußt der Ansatz für diese Funktion mit t multipliziert werden.
>
> mit Hilfe von Differentialoperatoren stell ich das nun so
> auf:
>
> [mm]p(D)*up=(D-iE)*(D+iE)*(c3*4e^{it}+c4*4*e^{3it})[/mm]
>
> so und jetzt weiß ich leider nicht wie es weitergeht...
>
Es ist ja
[mm]D\left( \ p\left(t\right) * e^{\lambda*t} \ \right)= \left( \ \left(D+\lambda*E\right) p\left(t\right) \ \right) *e^{\lambda*t\right)[/mm]
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
$ [mm] p(D)\cdot{}up=(D-iE)\cdot{}(D+iE)\cdot{}(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it}) [/mm] $
sorry tut mir leid ich weiß leider noch immer nicht so recht was genau ich jetzt damit tun muss,... wie kriege ich denn D und E da raus?
danke
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Hallo tony90,
>
> [mm]p(D)\cdot{}up=(D-iE)\cdot{}(D+iE)\cdot{}(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})[/mm]
>
>
> sorry tut mir leid ich weiß leider noch immer nicht so
> recht was genau ich jetzt damit tun muss,... wie kriege ich
> denn D und E da raus?
D ist hier der Differentialoperator und E die Identität.
Jetzt mußt Du den Ansatz differenzieren, in die DGL einsetzen,
und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
>
> danke
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
ok dieser weg führt auf
> [mm]p(D)\cdot{}up=(D-iE)\cdot{}(D+iE)\cdot{}(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})[/mm]
= [mm] (D^{2}+E)\underbrace{\cdot{}(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})}_{=q(t)}
[/mm]
[mm] q'(t)=4*(c3*t*i*e^{it}+c3*e^{it}+3i*c4*e^{3it})
[/mm]
[mm] q''(t)=4*(-c3*t*e^{it}+2*c3*i*e^{it}-9*c4*e^{3it})
[/mm]
wenn ich das jetzt für D einsetze kommt:
[mm] 4*(-c3*t*e^{it}+2*c3*i*e^{it}-9*c4*e^{3it})+(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})= \underbrace{4*e^{it}+4*e^{3it}}_{=aus dem Ansatz}
[/mm]
korrekt?
aber wie löse ich dasdenn jetzt auf?
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Hallo tony90,
> ok dieser weg führt auf
>
> >
> [mm]p(D)\cdot{}up=(D-iE)\cdot{}(D+iE)\cdot{}(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})[/mm]
>
> =
> [mm](D^{2}+E)\underbrace{\cdot{}(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})}_{=q(t)}[/mm]
>
> [mm]q'(t)=4*(c3*t*i*e^{it}+c3*e^{it}+3i*c4*e^{3it})[/mm]
> [mm]q''(t)=4*(-c3*t*e^{it}+2*c3*i*e^{it}-9*c4*e^{3it})[/mm]
>
>
> wenn ich das jetzt für D einsetze kommt:
>
> [mm]4*(-c3*t*e^{it}+2*c3*i*e^{it}-9*c4*e^{3it})+(c3\cdot{}4*t*e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it})= \underbrace{4*e^{it}+4*e^{3it}}_{=aus dem Ansatz}[/mm]
>
> korrekt?
Ja.
>
> aber wie löse ich dasdenn jetzt auf?
Nun, fasse die linke Seite erstmal zusammen:
[mm]\alpha*e^{it}+\beta*e^{i3t}=4*e^{it}+4*e^{i3t}[/mm]
Jetzt vergleichst Du die Koeffizienten vor [mm]e^{it}[/mm]
bzw. [mm]e^{i3t}[/mm] auf beiden Seiten miteinander, d.h. es muß
[mm]\alpha=4[/mm]
[mm]\beta=4[/mm]
gelten.
Daraus erhältst Du dann die Koeffizienten [mm]c3, \ c4[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
ok,...kommen für die koeffizienten
[mm] c3=-\bruch{1}{2}i
[/mm]
[mm] c4=-\bruch{1}{8}
[/mm]
ergibt die gesamtlösung
[mm] u(t)=c1*e^{it}+c2*e^{-it}-\bruch{1}{2}i*e^{it}-\bruch{1}{8}*e^{3it}
[/mm]
[mm] \not= [/mm] Musterlösung
[mm] u(t)=(c1-i*t)*e^{it}+(c2+i*t)*e^{-it}-\bruch{1}{4}*(e^{3it}+e^{-3it})
[/mm]
Wenn ich das ganze mit Variation der Konstanten löse kommt nochmal was ganz anderes mit sinus und cosinus raus...
ne idee woran es liegen könnte?
tausend dank übrigends für deine mühe!!!
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Hallo tony90,
> ok,...kommen für die koeffizienten
>
> [mm]c3=-\bruch{1}{2}i[/mm]
> [mm]c4=-\bruch{1}{8}[/mm]
>
>
> ergibt die gesamtlösung
>
> [mm]u(t)=c1*e^{it}+c2*e^{-it}-\bruch{1}{2}i*e^{it}-\bruch{1}{8}*e^{3it}[/mm]
Für den Ansatz der partikulären Lösung hast Du gewählt:
[mm]c3*t\cdot{}4e^{it}+c4\cdot{}4\cdot{}e^{3it}[/mm]
Dann lautet die gesamte Lösung:
[mm]u(t)=c1*e^{it}+c2*e^{-it}-\red{4*t}*\bruch{1}{2}i*e^{it}-\red{4}*\bruch{1}{8}*e^{3it}[/mm]
[mm]\gdw u(t)=c1*e^{it}+c2*e^{-it}-2*t*i*e^{it}-\bruch{1}{2}*e^{3it}[/mm]
>
> [mm]\not=[/mm] Musterlösung
>
> [mm]u(t)=(c1-i*t)*e^{it}+(c2+i*t)*e^{-it}-\bruch{1}{4}*(e^{3it}+e^{-3it})[/mm]
>
Hier hat die Musterlösung
[mm]\operatorname{Re}\left(i*e^{i*\lambda*t}\right)=\operatorname{Re}\left(-i*e^{-i*\lambda*t}\right), \ \lambda \in \IR[/mm]
verwendet.
>
> Wenn ich das ganze mit Variation der Konstanten löse kommt
> nochmal was ganz anderes mit sinus und cosinus raus...
>
> ne idee woran es liegen könnte?
> tausend dank übrigends für deine mühe!!!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
ok fehler erkannt,...
aber:
wenn ich die beiden sachen gleichsetze müsste sich das doch alles auflösen oder nicht?
so hab ich das jetzt grad mal gemacht:
[mm] u(t)=c1*e^{it}+c2*e^{-it}-2*t*i*e^{it}-\bruch{1}{2}*e^{3it}=(c1-i*t)*e^{it}+(c2+i*t)*e^{-it}-\bruch{1}{4}*(e^{3it}+e^{-3it})
[/mm]
und das ergibt aufgelößt:
[mm] -it*e^{it}-\bruch{1}{4}*e^{3it}=it*e^{-it}-\bruch{1}{4}*e^{-3it}
[/mm]
und das ist doch nicht das gleiche?!
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Hallo tony90,
> ok fehler erkannt,...
>
> aber:
>
> wenn ich die beiden sachen gleichsetze müsste sich das
> doch alles auflösen oder nicht?
>
> so hab ich das jetzt grad mal gemacht:
>
> [mm]u(t)=c1*e^{it}+c2*e^{-it}-2*t*i*e^{it}-\bruch{1}{2}*e^{3it}=(c1-i*t)*e^{it}+(c2+i*t)*e^{-it}-\bruch{1}{4}*(e^{3it}+e^{-3it})[/mm]
>
> und das ergibt aufgelößt:
>
> [mm]-it*e^{it}-\bruch{1}{4}*e^{3it}=it*e^{-it}-\bruch{1}{4}*e^{-3it}[/mm]
>
>
> und das ist doch nicht das gleiche?!
Wenn die Realteile der Gleichung betrachtet werden, dann stimmt dies.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
ja das seh ich genauso,...
aber die komplexen lösungen stimmennicht überein....
ist die von mir gefundene lösung trotzdem eine oder kann hier was nicht stimmen? (rechenfehler)
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Hallo tony90,
> ja das seh ich genauso,...
>
> aber die komplexen lösungen stimmennicht überein....
>
Wenn die übereinstimmen sollen, dann hätten wir den Ansatz
[mm]y_{p}=A*t*e^{i*t}+B*t*e^{-i*t}+C*e^{i*3t}+D*e^{-i*3t}[/mm]
wählen müssen.
Dann hätte man aber auch die Störfunktion so darstellen müssen.
>
> ist die von mir gefundene lösung trotzdem eine oder kann
> hier was nicht stimmen? (rechenfehler)
>
Der Realteil der von Dir gefundenen Löung ist eine.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Di 04.08.2009 | | Autor: | tony90 |
Tausend Dank,...
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