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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 19.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Hallo! Ich habe folgendes Problem:
Von folgender Funktion möchte ich die Ableitung bilden.
Mit den Cauchy-Riemannschen-DGLs habe ich überprüft,ob dies möglich ist.
Dies ist hier der Fall.
[mm] f(z)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x+i*y}
[/mm]
Die Ableitung lautet:
[mm] f'(z)=\frac{-x^2+2x+y^2-1}{(x^2-2x+y^2+1)^2}+i*\frac{2y(x-1)}{(x^2+y^2-2x+1)^2}
[/mm]
Jetzt möchte ich das ganze in z-Sprache transformieren.
Die Lösung lautet:
[mm] f'(z)=\frac{-1}{(z-1)^2}
[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie hier vorgegangen wurde. Der letzte Schritt ist mir absolut unklar. Kann mir jmd. vielleicht erklären, wie ich hier vorzugehen habe?
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Für [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] (mit [mm]x,y \in \mathbb{R}[/mm]) ist [mm]\bar{z} = x - \operatorname{i}y[/mm] sowie [mm]z \bar{z} = x^2 + y^2[/mm]
[mm]f(z) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - x + \operatorname{i}y} = \frac{z \bar{z}}{z \bar{z} - \bar{z}} = \frac{z}{z-1} = \frac{(z-1) + 1}{z-1} = 1 + \frac{1}{z-1}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 19.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Vielen Dank für deine Hilfe! Das ist natürlich alles sehr logisch.
Kannst du dir aber erklären, wie die Musterlösung zustande kommt?
Zur Erinnerung:
[mm] f'(z)=\frac{-1}{(z-1)^2}
[/mm]
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Du mußt einfach [mm]f(z) = 1 + \frac{1}{z-1}[/mm] nach den gewöhnlichen Regeln differenzieren. Falls ihr das noch nicht hattet und du das Ergebnis direkt aus der reellen in die komplexe Schreibweise überführen sollst, dann beachte den folgenden Tip:
[mm]x^2 + y^2 - 2x + 1 = \left( x^2 + y^2 \right) - ( 2x ) + 1 = z \bar{z} - \left( z + \bar{z} \right) + 1 = \left( z - 1 \right) \left( \bar{z} - 1 \right)[/mm]
Drücke ferner [mm]\left( \bar{z} - 1 \right)^2[/mm] in [mm]x,y[/mm] aus und vergleiche.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Maiko |
OK. Vielen Dank!
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