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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Gleichung
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Komplexe Gleichung: Ansätze
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 So 06.11.2011
Autor: atseaa

Aufgabe
Geben Sie alle komplexen Lösungen [mm] z_k \in \IC[/mm] an:
[mm] \bar{z}*z -5z+10i = 0 [/mm]


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,

ich weiß derzeit nicht weiter bei dieser Aufgabe. Mir ist bekannt:

[mm]\bar z *z = \left| z \right|^2 = a^2 + b^2 = (a+bi)*(a-bi)[/mm]

Ich habe aber Schwierigkeiten, den Betrag aufzulösen. Nach a oder b aufzulösen klappt nicht, da kommt dann sowas wie hier heraus:

[mm]a^2+b^2-5a+5bi=0[/mm]

        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 So 06.11.2011
Autor: MathePower

Hallo atseaa,


[willkommenmr]


> Geben Sie alle komplexen Lösungen [mm]z_k \in IC[/mm] an:
>  [mm]\bar{z}*z -5z+10i = 0[/mm]
>  Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>  
> Hi,
>  
> ich weiß derzeit nicht weiter bei dieser Aufgabe. Mir ist
> bekannt:
>
> [mm]\bar z *z = \left| z \right|^2 = a^2 + b^2 = (a+bi)*(a-bi)[/mm]
>
> Ich habe aber Schwierigkeiten, den Betrag aufzulösen. Nach
> a oder b aufzulösen klappt nicht, da kommt dann sowas wie
> hier heraus:
>
> [mm]a^2+b^2-5a+5bi=0[/mm]


Hier muss doch stehen:

[mm]a^2+b^2-5a\blue{-}5bi\blue{+10i}=0[/mm]

Trenne diese Gleichung nach Real- und Imaginärteil.
Dann entstehen zwei Gleichungen für a,b.
Bestimme daraus a und b.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:02 Mo 07.11.2011
Autor: atseaa

Ich schreibe also ausgehend von [mm] a^2+b^2-5a-5bi+10i=0[/mm]:

[mm]Re(a^2+b^2-5a)+Im(-5b+10)=0 [/mm]

[mm]a^2+b^2-5a=0[/mm]

[mm]-5b+10=0 \Rightarrow b=2 [/mm]

[mm]a^2+2^2-5*a=0 [/mm]

Mitternachtsformel führt auf

[mm]a_1= 1[/mm] und [mm]a_2=4[/mm]

Und damit auf die zwei komplexen Zahlen

[mm]z_1=1+2i;z_2=4+2i[/mm]



Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Mo 07.11.2011
Autor: reverend

Hallo atseaa,

> Ich schreibe also ausgehend von [mm]a^2+b^2-5a-5bi+10i=0[/mm]:
>  
> [mm]Re(a^2+b^2-5a)+Im(-5b+10)=0[/mm]

Das führt hier nicht weiter.
Richtig ist [mm] Re(a^2+b^2-5a-5bi+10i)=a^2+b^2^-5a=0 [/mm]
und [mm] Im(a^2+b^2-5a-5bi+10i)=-5b+10=0 [/mm]

> [mm]a^2+b^2-5a=0[/mm]
> [mm]-5b+10=0 \Rightarrow b=2[/mm]

s.o.

> [mm]a^2+2^2-5*a=0[/mm]
>  
> Mitternachtsformel führt auf
>  
> [mm]a_1= 1[/mm] und [mm]a_2=4[/mm]
>
> Und damit auf die zwei komplexen Zahlen
>  
> [mm]z_1=1+2i;z_2=4+2i[/mm]

Sonst ist alles ok und die Lösung korrekt.

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Zur Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:25 Mo 07.11.2011
Autor: atseaa

Ah ok, danke reverend, irgendwo hat es gezwickt beim schreiben, werde mir das merken, immer von "oben" den Realteil / Imaginärteil draufpacken und damit praktisch den Unterschied direkt sichtbar machen.

Bezug
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