Komplexe Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
| Aufgabe | Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung
[mm] z\overline{z} [/mm] + 3(z - [mm] \overline{z}) [/mm] = 4 - 3i |
Ok, das ist sicherlich eine recht simple Angelegenheit, nur bin ich handwerklich nicht der Begabteste, weshalb ich mich hiermit recht schwer tue. Folgendes habe ich erst einmal nachvollzogen:
Sei z = (a+bi), dann gilt:
[mm] z\overline{z} [/mm] + 3(z - [mm] \overline{z}) [/mm] = 4 - 3i [mm] \gdw
[/mm]
[mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + 6bi = 4 - 3i
Und hier hakt es bereits. Ich weiß keinen rechten Weg, wie ich eine Variable freistelle. Stelle ich z.B. nach a um, erhalte ich:
4 - 3i = 4 - 3i
Womit ich Gefahr laufe, wohl die gröbsten Gleichungsregeln zu begehen. Über einen Hinweis wäre ich doch sehr erfreut, zumal es sicherlich recht plump sein dürfte. Ich kann mir trotz allem nicht selbst behelfen. Gruß, Per
|
|
| |
|
Hallo Per,
> Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung
>
> [mm]z\overline{z}[/mm] + 3(z - [mm]\overline{z})[/mm] = 4 - 3i
> Ok, das ist sicherlich eine recht simple Angelegenheit,
> nur bin ich handwerklich nicht der Begabteste, weshalb ich
> mich hiermit recht schwer tue. Folgendes habe ich erst
> einmal nachvollzogen:
>
> Sei z = (a+bi), dann gilt:
>
> [mm]z\overline{z}[/mm] + 3(z - [mm]\overline{z})[/mm] = 4 - 3i [mm]\gdw[/mm]
> [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] + 6bi = 4 - 3i
Bis hierhin stimmt es. Die linke Seite ist gleich der rechten Seite, wenn der Realteil auf beiden Seiten übereinstimmt und wenn gleichzeitig der Imaginärteil auf beiden Seiten übereinstimmt.
Damit erhält man zwei Gleichungen, um die beiden Unbekannten a und b zu bestimmen.
> Und hier hakt es bereits. Ich weiß keinen rechten Weg, wie
> ich eine Variable freistelle. Stelle ich z.B. nach a um,
> erhalte ich:
>
> 4 - 3i = 4 - 3i
>
> Womit ich Gefahr laufe, wohl die gröbsten Gleichungsregeln
> zu begehen. Über einen Hinweis wäre ich doch sehr
> erfreut, zumal es sicherlich recht plump sein dürfte. Ich
> kann mir trotz allem nicht selbst behelfen. Gruß, Per
>
Grüße
franzzink
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
Ok, dann sähe mein Ansatz folgend aus:
[mm] a^{2} [/mm] = 4 [mm] \gdw [/mm] a = 2 oder a = -2
[mm] b^{2} [/mm] + 6bi = 3i [mm] \gdw
[/mm]
[mm] b^{2} [/mm] + 6bi - 3i = 0
Mit pq-Formel käme ich dann auf:
b = -3i [mm] \pm \wurzel{9-3i}
[/mm]
Ob das allerdings so sauber ist und welche Lösung man nun wirklich nehmen muss, erschließt sich mir nicht. Danke dennoch schonmal! Per
|
|
|
| |
|
$ [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + 6bi = 4 - 3i $
Was ist denn der Realteil der linken Seite?
Ich beantworte es mal selbst: $ [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
Wenn das so aussieht, dann käme ich auf:
a = [mm] \bruch{\wurzel{15}}{2} [/mm] und b = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] bzw. deren negativen Beträge.
Zusammengeworfen ergäbe sich somit, und nur sofern das diesmal natürlich richtig sein sollte:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{15}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{i}{2}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{15}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{i}{2}
[/mm]
Ich schätze mal, dass da immer noch ein Fehler liegt. Wäre auch zu einfach, was. Vielen Dank auf jeden Fall für die schnelle Hilfe!
|
|
|
| |
|
Hallo per,
du arbeitest zu schlampig.
> Wenn das so aussieht, dann käme ich auf:
>
> a = [mm]\bruch{\wurzel{15}}{2}[/mm] und b = [mm]\bruch{1}{2},[/mm] bzw. deren
> negativen Beträge.
Negative Beträge?
b ist hier eindeutig zu bestimmen aus 6bi=-3i.
a ist in der Tat nicht eindeutig: [mm] a=\pm\tfrac{1}{2}\wurzel{15}
[/mm]
> Zusammengeworfen ergäbe sich somit, und nur sofern das
> diesmal natürlich richtig sein sollte:
>
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{15}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{i}{2}[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]-\bruch{\wurzel{15}}{2}[/mm] - [mm]\bruch{i}{2}[/mm]
>
> Ich schätze mal, dass da immer noch ein Fehler liegt.
Ja, siehe oben.
> Wäre auch zu einfach, was. Vielen Dank auf jeden Fall für
> die schnelle Hilfe!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mo 08.10.2012 | | Autor: | per |
Ok, dann in etwa so:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{\wurzel{15}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{i}{2}
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{15}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{i}{2}
[/mm]
?
Und, ja, viel Erfahrung habe ich in diesen Sachen in der Tat nicht, vor allem bezüglich der Feinheiten, that is Konsequenzen. Aber da ist es gut, wenn ich es mal übe. Gruß, Per
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
