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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Gleichungen
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Komplexe Gleichungen: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 So 28.11.2010
Autor: SolRakt

(1) z* = [mm] z^{3} [/mm]

(2) [mm] |z|^{5} [/mm] = [mm] z^{5} [/mm]

Kann mir da jemand kurz einen Ansatz geben. Die weiteren Aufgaben, also c und d, die laut Dozent schwieriger sein sollen, hab cih gelöst bekommen xD Aber bei denen blick ich nicht durch. Bestimmt wieder total einfach ;)




        
Bezug
Komplexe Gleichungen: komplexe Darstellung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 So 28.11.2010
Autor: Infinit

Hallo SolRakt,
die Lösung dieser Aufgaben führt zu zwei Gleichungen, eine für den Realteil, eine für den Imaginärteil. Setze also doch einfach mal
[mm] z = a + ib [/mm] und rechne aus, was für den Real- und den Imaginärteil in Abhängigkeit von a und b gelten muss.
Viele Grüße,
Infinit


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Komplexe Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 So 28.11.2010
Autor: SolRakt

Wenn ich bei ersten Aufgabe a+bi einsetze, steht da:

a-ib = [mm] (a+bi)^{2} [/mm] (a+ib)

Und jetzt?

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Komplexe Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 So 28.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo SolRakt,



> Wenn ich bei ersten Aufgabe a+bi einsetze, steht da:
>  
> a-ib = [mm](a+bi)^{2}[/mm] (a+ib)
>  
> Und jetzt?

Rechterhand ausmultiplizieren, zusammenfassen, also nach Real- und Imaginärteil sortieren.

Dann mit der Eindeutigkeit von Real- und Imaginärteil linke und rechte Seite vergleichen.



Gruß

schachuzipus


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Komplexe Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 So 28.11.2010
Autor: SolRakt

Aber dann steht doch das da (?):

a - ib = [mm] (a^{2} -b^{2} [/mm] + 2abi) (a+ib)

a -ib = [mm] a^{3} [/mm] - [mm] ab^{2} [/mm] + [mm] 2a^{2}bi [/mm] + [mm] a^{2}ib -ib^{3} [/mm] - [mm] 2ab^{2} [/mm]

Ist es das, was du meintest? Bin mir nämlich nicht sicher, ob ich deine Antwort richtig verstanden habe. Sieht jetzt aber ziemlich kompliziert aus xD

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Komplexe Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 So 28.11.2010
Autor: m51va

jetzt man doch einen koeffizientenvergleich
$a-ib = a [mm] (a^2 [/mm] - [mm] 3b^2) [/mm] - ib [mm] (-3a^2 [/mm]  + [mm] b^2)$ [/mm]
daraus erhälst du dann ein Gleichungssystem mit zwei GLeichungen, das du dann lösen kannst

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Bezug
Komplexe Gleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 28.11.2010
Autor: SolRakt

Kann ich dann beide Terme gleich 1 setzen, also die in den Klammern und diese dann per Additionsverfahren lösen, sodass z.B. (bitte nachkontrollieren) rauskommt: [mm] b^{2} [/mm] = -0,5 Wie, wenn das stimmt, kriege ich dann das b?

Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Gleichungen: daraus keine Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:13 Mo 29.11.2010
Autor: Loddar

Hallo SolRakt!



> Kann ich dann beide Terme gleich 1 setzen, also die in den
> Klammern und diese dann per Additionsverfahren lösen,
> sodass z.B. (bitte nachkontrollieren) rauskommt: [mm]b^{2}[/mm] = -0,5

Das habe ich auch erhalten. Es gibt hier also keine Lösung.

Jedoch solltest Du noch den Fall $a \ = \ b \ = \ 0$ separat untersuchen.


Gruß
Loddar


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Komplexe Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Mo 29.11.2010
Autor: fred97

Zu

        (1) z* = $ [mm] z^{3} [/mm] $

Aus (1) folgt: [mm] $|z|=|z|^3$, [/mm] also ist z=0 oder |z|=1

Für z [mm] \ne [/mm] 0 ist also |z|= 1. Mult. von (1) mit z liefert:

                [mm] 1=|z|^2=z^4 [/mm]

Die Lösungen von (1) sind also die 4 ten - Einheitawurzeln und 0

FRED

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