Komplexe Lösung e. Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen $w$ der Gleichung in Exponentialform:
[mm] $w^4-\sqrt{3}\cdot e^{i\frac{3}{2}\pi}=(-1+\sqrt{3}i)^3-9$ [/mm] |
Nach meiner Rechnung komme ich auf
[mm] $w=2\cdot e^{i\frac{1}{12}\pi}$
[/mm]
ich bin mir aber nicht sicher mit meinem Ergebnis bzw. kann ich damit nichts anfangen.
Ist das was ich ausgerechnet habe richtig?
meine Rechnung dazu ist ziemlich lang weswegen ich hier nicht
ein Lösungsweg nach dem Muster tue dies und dann das würde mir auch schon sehr helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo georg!
Auf jeden Fall ist Deine Lösung nicht vollständig, da es hier 4 Lösungen gibt.
Wie bist Du denn vorgegangen? Was hast Du für [mm] $(...)^3$ [/mm] erhalten? Das sollte einen sehr einfachen Term ergeben.
Dann kannst Du alls auf der rechten Seite zusammenfassen und in die Exponentialform bringen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
also für den term
[mm] $(-1+\sqrt{3}i)^3$ [/mm]
habe ich
[mm] $8\cdot e^{i 2\pi}$ [/mm] errechnet, das ergibt wegen [mm] $e^{i 2 \pi} \mathrel{\widehat{=}} 0^\circ$ [/mm] das ergbnis $8$
mit der $-9$ ergibt das auf der rechten Seite $-1$
damit hab ich dann als Zwischenergebnis
[mm] $w^4-\sqrt{3}e^{i\frac{3}{2}\pi}=-1$
[/mm]
Jetzt wandle ich die [mm] $\sqrt{3}e^{i\frac{3}{2}\pi}$ [/mm] in die Aritmetische Form um damit ich diese auf die rechte Seite bringen kann und [mm] $w^4$ [/mm] alleine auf der Linken.
[mm] $w^4=-1-\sqrt{3}i$
[/mm]
dann mache ich wieder eine Umwandlung der Aritmetischen Form in die Polarform um die Wurzel zu Ziehen.
das bringt mich dann auf mein Endergebnis
$ [mm] w=2^{\frac{1}{4}}\cdot e^{i\frac{1}{12}\pi} [/mm] $ habe vorhin das hoch [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] bei der $2$ vergessen.
Normal müsste ich auf einen Ausdruck kommen von [mm] $w^4=x$ [/mm] mit [mm] $x\epsilon\IN$ [/mm] aber darauf komme ich leider nicht.
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Hallo georg1982,
> Hallo Loddar,
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> also für den term
> [mm](-1+\sqrt{3}i)^3[/mm]
> habe ich
> [mm]8\cdot e^{i 2\pi}[/mm] errechnet, das ergibt wegen [mm]e^{i 2 \pi} \mathrel{\widehat{=}} 0^\circ[/mm]
> das ergbnis [mm]8[/mm]
> mit der [mm]-9[/mm] ergibt das auf der rechten Seite [mm]-1[/mm]
> damit hab ich dann als Zwischenergebnis
> [mm]w^4-\sqrt{3}e^{i\frac{3}{2}\pi}=-1[/mm]
> Jetzt wandle ich die [mm]\sqrt{3}e^{i\frac{3}{2}\pi}[/mm] in die
> Aritmetische Form um damit ich diese auf die rechte Seite
> bringen kann und [mm]w^4[/mm] alleine auf der Linken.
> [mm]w^4=-1-\sqrt{3}i[/mm]
Bis hierher stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann mache ich wieder eine Umwandlung der Aritmetischen
> Form in die Polarform um die Wurzel zu Ziehen.
> das bringt mich dann auf mein Endergebnis
> [mm]w=2^{\frac{1}{4}}\cdot e^{i\frac{1}{12}\pi}[/mm] habe vorhin das
Diese Lösung stimmt nicht.
Poste dazu die Polarform von [mm]-1-\wurzel{3}i[/mm]
> hoch [mm]\frac{1}{4}[/mm] bei der [mm]2[/mm] vergessen.
> Normal müsste ich auf einen Ausdruck kommen von [mm]w^4=x[/mm] mit
> [mm]x\epsilon\IN[/mm] aber darauf komme ich leider nicht.
Gruss
MathePower
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Ok habe nochmal nachgerechnet
[mm] $-1-\sqrt{3}i$ [/mm] in Polarform ist [mm] $2^\frac{1}{4}\cdot e^{i\frac{4}{3}\pi}$
[/mm]
und was jetzt Komplexe wurzeln ziehen kann ich nicht sonst wüsste ich sicher was ich als nächstes tun muss.
ich habe also
[mm] $w^4=2\cdot e^{i\frac{4}{3}\pi}$
[/mm]
wenn ich jetzt die 4. Wurzel ziehe komme ich auf
[mm] $w_1=2^\frac{1}{4}\cdot e^{i\frac{1}{3}\pi}$
[/mm]
meine überlegung ist jetzt, das [mm] $w^4$ [/mm] bedeutet das ich ein Regelmäßiges Viereck habe und meine erste Ecke liegt auf [mm] $60^\circ$ [/mm] das entspricht den [mm] $\frac{1}{3}\pi$ [/mm] in der Gleichung. und [mm] $90^\circ$ [/mm] weiter, also bei [mm] $w_2=2^\frac{1}{4}\cdot [/mm] e^ [mm] {i\frac{5}{6}\pi}$ [/mm] liegt dann der Nächste Punkt.
Die restlichen Lösungen währen dann
[mm] $w_3=2^\frac{1}{4}\cdot [/mm] e^ [mm] {i\frac{4}{3}\pi}$
[/mm]
[mm] $w_4=2^\frac{1}{4}\cdot [/mm] e^ [mm] {i\frac{11}{6}\pi}$
[/mm]
hoffe das das jetzt richtig ist.
Passen würde es jedenfalls
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Hallo georg1982,
> Ok habe nochmal nachgerechnet
> [mm]-1-\sqrt{3}i[/mm] in Polarform ist [mm]2^\frac{1}{4}\cdot e^{i\frac{4}{3}\pi}[/mm]
>
> und was jetzt Komplexe wurzeln ziehen kann ich nicht sonst
> wüsste ich sicher was ich als nächstes tun muss.
>
> ich habe also
> [mm]w^4=2\cdot e^{i\frac{4}{3}\pi}[/mm]
>
Die Exponentialform ist im Komplexen periodisch.
Demnach kannst Du auch schreiben:
[mm]w^4=2\cdot e^{i\frac{4}{3}\pi}=2*e^{i*\left(\frac{4}{3}\pi+2*k*\pi\right)}, \ k \in \IZ[/mm]
Das ergibt dann die Lösungen:
[mm]w_{k}=\wurzel[4]{2}*e^{i*\left(\frac{1}{3}\pi+k*\frac{\pi}{2}\right)}, \ k \in \IZ[/mm]
Da sich die Lösungen mit der Periode [mm]2\pi[/mm] wiederholen,
läuft k von 0 bis 3.
> wenn ich jetzt die 4. Wurzel ziehe komme ich auf
>
> [mm]w_1=2^\frac{1}{4}\cdot e^{i\frac{1}{3}\pi}[/mm]
>
> meine überlegung ist jetzt, das [mm]w^4[/mm] bedeutet das ich ein
> Regelmäßiges Viereck habe und meine erste Ecke liegt auf
> [mm]60^\circ[/mm] das entspricht den [mm]\frac{1}{3}\pi[/mm] in der
> Gleichung. und [mm]90^\circ[/mm] weiter, also bei
> [mm]w_2=2^\frac{1}{4}\cdot e^ {i\frac{5}{6}\pi}[/mm] liegt dann der
> Nächste Punkt.
>
> Die restlichen Lösungen währen dann
> [mm]w_3=2^\frac{1}{4}\cdot e^ {i\frac{4}{3}\pi}[/mm]
>
> [mm]w_4=2^\frac{1}{4}\cdot e^ {i\frac{11}{6}\pi}[/mm]
>
> hoffe das das jetzt richtig ist.
> Passen würde es jedenfalls
Ja, das passt auch.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:19 So 18.03.2012 | | Autor: | georg1982 |
Danke für eure Hilfe
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