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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen
(a) [mm] z^2 [/mm] + (2 − 3i)x − 2 − 4i = 0,
(b) [mm] x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] + 9x + 6 = 0 und
(c) [mm] 2y^4 [/mm] − [mm] 3y^2 [/mm] − 20 = 0 |
Hallo,
so, ich hätte zu dieser Aufgabe Fragen:
zu a)
Ich weiß persönlich nicht, wie ich da verfahren soll. Hatten eine ähnliche Aufgabe in der Übung gelöst. Bei dieser aber gab es nicht zwei Variabeln und der letzte Part, 2-4i, war auch keine komplexe Zahl.
Zweites Problem bei der Aufgabe: Unser Tutor hat auch die Angewohnheit, keine PQ-Formel zu nutzen, sondern alles per Klammern zu machen. Da steig ich, eh überfordert, nicht hinter bzw weiß es jetzt nicht umzumünzen.
zu b)
Da das ja ne Funktion 3. Grades ist, hab ich eine Nullstelle erraten: [mm] x_{1}=-2. [/mm]
Anschließend hab ich dies erhalten: [mm] (x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] + 9x + [mm] 6):(x+2)=x^2+3x+3 [/mm] (bin mir hier immer unsicher, ob vor die geratene Nullstelle ein + oder - stehen muss)
Wenn ich darauf nun die pq-Formel anwende, erhalte ich zum schluss: [mm] x_{2,3}=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}}
[/mm]
Da ich ja komplexe Lösungen erhalten soll, hab ich mir dann folgendes gedacht: [mm] x_{2,3}=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{4}}i
[/mm]
Ist das soweit richtig? Und wären dies dann (also + und - die Wurzel) zusammen mit der geratenen Nullstelle die drei Lösungen? Oder hab ich mich vertan?
zu c)
Hier hab ich zunächst die Gleichung durch 2 geteilt und dann [mm] y^2 [/mm] durch z substituiert. Daraufhin erhielt ich: [mm] z^2-\bruch{3}{2}z-10=0
[/mm]
Nach der Anwendung der pq-Formel erhielt ich dann [mm] z_{1}=\bruch{3}{4}+\wurzel{\bruch{169}{16}}=\bruch{16}{4} [/mm] und [mm] z_{2}=\bruch{3}{4}-\wurzel{\bruch{169}{16}}=-\bruch{10}{4}
[/mm]
Aus [mm] z_{1} [/mm] kann ich ja dann zwei Nullstenne berechnen, indem ich Wurzel ziehe: [mm] y_{1}=2 [/mm] und [mm] y_{2}=-2
[/mm]
Kann ich jetzt [mm] z_{2}=-\bruch{10}{4} [/mm] einfach wie bei a) mit Hilfe der komplexen Zahlen lösen und so [mm] y_{3}=\wurzel{\bruch{10}{4}} [/mm] i und [mm] y_{4}=-\wurzel{\bruch{10}{4}} [/mm] i
erhalten?
Bedanke mich schon einmal für eure Hilfe. Bislang wurden alle Fragen wunderbar beantwortet.:)
Grüße,
Sebastian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen
> (a) [mm]z^2[/mm] + (2 − 3i)x − 2 − 4i = 0,
> (b) [mm]x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] + 9x + 6 = 0 und
> (c) [mm]2y^4[/mm] − [mm]3y^2[/mm] − 20 = 0
> Hallo,
>
> so, ich hätte zu dieser Aufgabe Fragen:
> zu a)
> Ich weiß persönlich nicht, wie ich da verfahren soll.
> Hatten eine ähnliche Aufgabe in der Übung gelöst. Bei
> dieser aber gab es nicht zwei Variabeln und der letzte
> Part, 2-4i, war auch keine komplexe Zahl.
> Zweites Problem bei der Aufgabe: Unser Tutor hat auch die
> Angewohnheit, keine PQ-Formel zu nutzen, sondern alles per
> Klammern zu machen. Da steig ich, eh überfordert, nicht
> hinter bzw weiß es jetzt nicht umzumünzen.
Schreibe $z = x+iy$. Berechne [mm] z^2, [/mm] trage dies in die zu lösende gleichung ein und schreibe das resultat in der Form
$A+iB = 0$, wobei A;B [mm] \in \IR
[/mm]
Dann: $A+iB = 0$ [mm] \gdw [/mm] A = 0 und B=0
>
> zu b)
> Da das ja ne Funktion 3. Grades ist, hab ich eine
> Nullstelle erraten: [mm]x_{1}=-2.[/mm]
> Anschließend hab ich dies erhalten: [mm](x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] + 9x +
> [mm]6):(x+2)=x^2+3x+3[/mm] (bin mir hier immer unsicher, ob vor die
> geratene Nullstelle ein + oder - stehen muss)
> Wenn ich darauf nun die pq-Formel anwende, erhalte ich zum
> schluss: [mm]x_{2,3}=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}}[/mm]
> Da ich ja komplexe Lösungen erhalten soll, hab ich mir
> dann folgendes gedacht:
> [mm]x_{2,3}=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{4}}i[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Und wären dies dann (also + und -
> die Wurzel) zusammen mit der geratenen Nullstelle die drei
> Lösungen? Oder hab ich mich vertan?
Nein, Du hast alles richtig gemacht !
>
>
> zu c)
> Hier hab ich zunächst die Gleichung durch 2 geteilt und
> dann [mm]y^2[/mm] durch z substituiert. Daraufhin erhielt ich:
> [mm]z^2-\bruch{3}{2}z-10=0[/mm]
> Nach der Anwendung der pq-Formel erhielt ich dann
> [mm]z_{1}=\bruch{3}{4}+\wurzel{\bruch{169}{16}}=\bruch{16}{4}[/mm]
> und
> [mm]z_{2}=\bruch{3}{4}-\wurzel{\bruch{169}{16}}=-\bruch{10}{4}[/mm]
> Aus [mm]z_{1}[/mm] kann ich ja dann zwei Nullstenne berechnen,
> indem ich Wurzel ziehe: [mm]y_{1}=2[/mm] und [mm]y_{2}=-2[/mm]
> Kann ich jetzt [mm]z_{2}=-\bruch{10}{4}[/mm] einfach wie bei a) mit
> Hilfe der komplexen Zahlen lösen und so
> [mm]y_{3}=\wurzel{\bruch{10}{4}}[/mm] i und
> [mm]y_{4}=-\wurzel{\bruch{10}{4}}[/mm] i
> erhalten?
Auch hier ist alles O.K. Beachte: 10/4 = 5/2
FRED
>
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> Bedanke mich schon einmal für eure Hilfe. Bislang wurden
> alle Fragen wunderbar beantwortet.:)
>
> Grüße,
> Sebastian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Danke!:)
Gut, dass b) und c) schon einmal stimmen. Werd mich dann gleich auch mal an a) machen. Wenn ich dabei auf Probleme stoßen sollte, meld ich mich.
Das ist hier wirklich das beste Forum, dass ich bislang für Mathematik gefunden habe.
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> > Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen
> > (a) [mm]z^2[/mm] + (2 − 3i)x − 2 − 4i = 0,
> > (b) [mm]x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] + 9x + 6 = 0 und
> > (c) [mm]2y^4[/mm] − [mm]3y^2[/mm] − 20 = 0
> > Hallo,
> >
> > so, ich hätte zu dieser Aufgabe Fragen:
> > zu a)
> > Ich weiß persönlich nicht, wie ich da verfahren soll.
> > Hatten eine ähnliche Aufgabe in der Übung gelöst. Bei
> > dieser aber gab es nicht zwei Variabeln und der letzte
> > Part, 2-4i, war auch keine komplexe Zahl.
> > Zweites Problem bei der Aufgabe: Unser Tutor hat auch
> die
> > Angewohnheit, keine PQ-Formel zu nutzen, sondern alles per
> > Klammern zu machen. Da steig ich, eh überfordert, nicht
> > hinter bzw weiß es jetzt nicht umzumünzen.
>
>
> Schreibe [mm]z = x+iy[/mm]. Berechne [mm]z^2,[/mm] trage dies in die zu
> lösende gleichung ein und schreibe das resultat in der
> Form
>
> [mm]A+iB = 0[/mm], wobei A;B [mm]\in \IR[/mm]
>
> Dann: [mm]A+iB = 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] A = 0 und B=0
>
So, hab mich jetzt mehrfach daran versucht, komme aber nicht wirklich weiter:
Ich soll also direkt z=x+yi einsetzen? Ergibt ja dann:
[mm] (x+yi)^2 [/mm] + (2 − 3i)x − 2 − 4i = 0
[mm] \gdw x^2+2xyi+y^2i+2x-3xi-2-4i=0
[/mm]
Nur wie soll ich dann weiter verfahren? Oder lieg ich da auf dem vollkommen falschen Weg?
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Hallo Silestius,
> > > Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen
> > > (a) [mm]z^2[/mm] + (2 − 3i)x − 2 − 4i = 0,
> > > (b) [mm]x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] + 9x + 6 = 0 und
> > > (c) [mm]2y^4[/mm] − [mm]3y^2[/mm] − 20 = 0
> > > Hallo,
> > >
> > > so, ich hätte zu dieser Aufgabe Fragen:
> > > zu a)
> > > Ich weiß persönlich nicht, wie ich da verfahren soll.
> > > Hatten eine ähnliche Aufgabe in der Übung gelöst. Bei
> > > dieser aber gab es nicht zwei Variabeln und der letzte
> > > Part, 2-4i, war auch keine komplexe Zahl.
> > > Zweites Problem bei der Aufgabe: Unser Tutor hat
> auch
> > die
> > > Angewohnheit, keine PQ-Formel zu nutzen, sondern alles per
> > > Klammern zu machen. Da steig ich, eh überfordert, nicht
> > > hinter bzw weiß es jetzt nicht umzumünzen.
> >
> >
> > Schreibe [mm]z = x+iy[/mm]. Berechne [mm]z^2,[/mm] trage dies in die zu
> > lösende gleichung ein und schreibe das resultat in der
> > Form
> >
> > [mm]A+iB = 0[/mm], wobei A;B [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > Dann: [mm]A+iB = 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] A = 0 und B=0
> >
>
> So, hab mich jetzt mehrfach daran versucht, komme aber
> nicht wirklich weiter:
> Ich soll also direkt z=x+yi einsetzen? Ergibt ja dann:
> [mm](x+yi)^2[/mm] + (2 − 3i)x − 2 − 4i = 0
> [mm]\gdw x^2+2xyi+y^2i+2x-3xi-2-4i=0[/mm]
Hier muss es lauten:
[mm]\gdw x^{2}+2xyi+y^{2}i^{\red{2}}+2x-3xi-2-4i=0[/mm]
Und da [mm]i^{2}=-1[/mm] folgt:
[mm]\gdw x^{2}+2xyi-y^{2}+2x-3xi-2-4i=0[/mm]
>
> Nur wie soll ich dann weiter verfahren? Oder lieg ich da
> auf dem vollkommen falschen Weg?
Setze den Realteil und den Imaginärteil gleich Null.
Dann bekommst Du zwei Gleichungen.
Gruss
MathePower
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> Hier muss es lauten:
>
> [mm]\gdw x^{2}+2xyi+y^{2}i^{\red{2}}+2x-3xi-2-4i=0[/mm]
>
> Und da [mm]i^{2}=-1[/mm] folgt:
>
> [mm]\gdw x^{2}+2xyi-y^{2}+2x-3xi-2-4i=0[/mm]
>
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> >
> > Nur wie soll ich dann weiter verfahren? Oder lieg ich da
> > auf dem vollkommen falschen Weg?
>
>
> Setze den Realteil und den Imaginärteil gleich Null.
> Dann bekommst Du zwei Gleichungen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok, das habe ich getan. Den Realteil und den Imaginärteil jeweils gleich null:
[mm] x^{2}-y^{2}+2x-2=0 [/mm] und
2xyi-3xi-4i=0
Muss ich nun bspw beim Realteil
[mm] x^{2}-y^{2}+2x-2=0
[/mm]
nach y auflösen und dann in die zweite Gleichung einsetzen? Wäre ja: [mm] y=\wurzel{x^2+2x-2}
[/mm]
Oder wäre dies falsch?
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> Ok, das habe ich getan. Den Realteil und den Imaginärteil
> jeweils gleich null:
> [mm]x^{2}-y^{2}+2x-2=0[/mm] und
> 2xyi-3xi-4i=0
>
> Muss ich nun bspw beim Realteil
> [mm]x^{2}-y^{2}+2x-2=0[/mm]
> nach y auflösen und dann in die zweite Gleichung
> einsetzen? Wäre ja: [mm]y=\wurzel{x^2+2x-2}[/mm]
> Oder wäre dies falsch?
Nicht unbedingt falsch, aber eher ungeschickt. Löse
lieber die Imaginärteilgleichung z.B. nach x auf. Auch
dies kann in der Folge aber noch unangenehm werden.
LG Al-Chw.
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Das waren ja die beiden Gleichungen:
I) [mm] x^{2}-y^{2}+2x-2=0 [/mm]
II) 2xyi-3xi-4i=0
So, ich hab mich jetzt mal an den Imaginärteil gemacht:
2xyi-3xi-4i=0
[mm] \gdw [/mm] 2xyi=3xi+4i |:2xi
[mm] \gdw y=\bruch{3}{2} [/mm] + 2x (-> fand ich persönlich einfacher als nach x aufzulösen... ich hoffe, das mit dem 2x stimmt auch)
y in I einsetzen: [mm] x^2-(\bruch{3}{2}+2x)^2+2x-2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2+\bruch{4}{3}x+\bruch{17}{12}=0
[/mm]
Ist das so möglich? Würde dann jetzt mit PQ Formel fortsetzen und würde dann dabei folgendes erhalten:
[mm] x_{1}=\bruch{4}{3}+\wurzel{\bruch{13}{36}}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{4}{3}-\wurzel{\bruch{13}{36}}
[/mm]
Könnte das stimmen? Oder hab ich zwischendurch einen Schritt vergessen bzw etwas falsch gemacht?
Grüße,
Sebastian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 22.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
> So, ich hab mich jetzt mal an den Imaginärteil gemacht:
> 2xyi-3xi-4i=0
> [mm]\gdw[/mm] 2xyi=3xi+4i |:2xi
Hier musst Du dann aber noch den Sonderfall $2*x*i \ = \ 0$ bzw. $x \ = \ 0$ gesondert untersuchen.
> [mm]\gdw y=\bruch{3}{2}[/mm] + 2x
Und hier kommt dann auch noch das Falsche heraus.
Das muss heißen:
$$y \ = \ [mm] \bruch{3}{2}+\bruch{2}{x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Okay, hab ich mir fast schon gedacht.^^ Wäre auch zu schade, gewesen, wenn es so einfach gewesen wäre.
Aber deine Hilfe hat mir geholfen, glaub ich zumindest.^^
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