Komplexe Mengen skizzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beschreibe und skizziere folgende Mengen:
[mm] M_{3} [/mm] = [mm] \{z\in\IC| Im \bruch{z+i}{z+1}=0\};
[/mm]
[mm] M_{4} [/mm] = [mm] \{\bruch{i-t}{t-1} \in\IC | t \in\IR\backslash (1) \} [/mm] |
Guten Tag zusammen! Also folgendes habe ich mir schon überlegt:
Als Abbildungen gesehen:
zu [mm] M_{3} [/mm] f: [mm] \IC \to \IR\setminus(1), [/mm] z [mm] \mapsto Im\bruch{z+i}{z+1}
[/mm]
zu [mm] M_{4} [/mm] g: [mm] \IR\backslash(1) \to \IC, [/mm] t [mm] \mapsto \bruch{i-t}{t-1}
[/mm]
Da bei f der Imaginärteil wegfällt, bleiben nur noch reelle Zahlen übrig, also: [mm] \bruch{z+i}{z+1}=t \in\IR
[/mm]
nach z umgestellt erhält man die Umkehrfunktion, welche genau z = [mm] \bruch{i-t}{t-1} [/mm] = [mm] f^{-1}=g(t) [/mm] ist.
Ich habe auch bewiesen das es eine bijektive Abbildung zwischen f und g gibt, da fog [mm] =Id\IC [/mm] und gof [mm] =Id\IR\setminus(1) [/mm] ist (bitte lasst mich das jetzt nicht abtippen ;) ) Also f = [mm] g^{-1} [/mm] und [mm] f^{-1} [/mm] = g.
nun zum skizzieren:
es folgt ja: [mm] M_{3} [/mm] = [mm] M_{4} [/mm] weil z = [mm] \bruch{i-t}{t-1} [/mm] das müsste stimmen oder?
Jetzt habe ich mal ein paar Werte eingesetzt. Zuerst sah es aus wie eine Gerade, aber dann ist da noch so ein Knick.. Jetzt Frage ich mich ob man die Menge/n wirklich skizzieren kann ohne extrem grobe Fehler zu machen oder ob man das nicht eleganter lösen kann? Wenn man eine Menge hat die zb einen Kreis darstellt ist das ja noch sehr eindeutig, aber mit so einer knittrigen Geraden kann man die Menge/n nicht gut veranschaulichen.
Jmd eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Beschreibe und skizziere folgende Mengen:
>
> [mm]M_{3}[/mm] = [mm]\{z\in\IC| Im \bruch{z+i}{z+1}=0\};[/mm]
>
> [mm]M_{4}[/mm] = [mm]\{\bruch{i-t}{t-1} \in\IC | t \in\IR\backslash (1) \}[/mm]
>
> Guten Tag zusammen! Also folgendes habe ich mir schon
> überlegt:
>
> Als Abbildungen gesehen:
>
> zu [mm]M_{3}[/mm] f: [mm]\IC \to \IR\setminus(1),[/mm] z [mm]\mapsto Im\bruch{z+i}{z+1}[/mm]
>
> zu [mm]M_{4}[/mm] g: [mm]\IR\backslash(1) \to \IC,[/mm] t [mm]\mapsto \bruch{i-t}{t-1}[/mm]
>
> Da bei f der Imaginärteil wegfällt, bleiben nur noch
> reelle Zahlen übrig, also: [mm]\bruch{z+i}{z+1}=t \in\IR[/mm]
> nach
> z umgestellt erhält man die Umkehrfunktion, welche genau z
> = [mm]\bruch{i-t}{t-1}[/mm] = [mm]f^{-1}=g(t)[/mm] ist.
>
> Ich habe auch bewiesen das es eine bijektive Abbildung
> zwischen f und g gibt, da fog [mm]=Id\IC[/mm] und gof
> [mm]=Id\IR\setminus(1)[/mm] ist (bitte lasst mich das jetzt nicht
> abtippen ;) ) Also f = [mm]g^{-1}[/mm] und [mm]f^{-1}[/mm] = g.
>
> nun zum skizzieren:
>
> es folgt ja: [mm]M_{3}[/mm] = [mm]M_{4}[/mm] weil z = [mm]\bruch{i-t}{t-1}[/mm] das
> müsste stimmen oder?
>
> Jetzt habe ich mal ein paar Werte eingesetzt. Zuerst sah es
> aus wie eine Gerade, aber dann ist da noch so ein Knick..
> Jetzt Frage ich mich ob man die Menge/n wirklich skizzieren
> kann ohne extrem grobe Fehler zu machen oder ob man das
> nicht eleganter lösen kann? Wenn man eine Menge hat die zb
> einen Kreis darstellt ist das ja noch sehr eindeutig, aber
> mit so einer knittrigen Geraden kann man die Menge/n nicht
> gut veranschaulichen.
>
> Jmd eine Idee?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Zunächst einmal hast du gut erkannt, dass in beiden Fällen die selbe Menge rauskommt. Zumindest kann ich bei deiner Formelumstellung keinen Fehler finden.
Zur Darstellung kannst du $z=x+iy$ setzen und erhältst [mm] $x=\frac{-t}{t-1}$ [/mm] und [mm] $y=\frac{1}{t-1}$.
[/mm]
Wenn du dir das genauer anschaust, stellst du fest, dass zwischen x und y eine ziemlich einfache Beziehung besteht.
|
|
|
| |
|
Das habe ich mir auch genau so aufgeschrieben. Aber ich sehe den Zusammenhang nicht.. gerade für Werte unter 1 .
|
|
|
| |
|
> Das habe ich mir auch genau so aufgeschrieben. Aber ich
> sehe den Zusammenhang nicht.. gerade für Werte unter 1 .
Dann rechne z.B. mal x+y (ohne i)....
|
|
|
| |
|
es kommt immer -1 raus. ich komm trotzdem nicht drauf, das gibts doch gar nicht... ich glaub ich sollte mal was an die frische luft gehen.
|
|
|
| |
|
> es kommt immer -1 raus. ich komm trotzdem nicht drauf, das
> gibts doch gar nicht... ich glaub ich sollte mal was an die
> frische luft gehen.
[mm] $x+y=-1\Leftrightarrow [/mm] y=-1-x$ gibt eine simple Gerade.
|
|
|
| |
|
vielen vielen dank! ich hatte die gerade schon völlig ausgeschlossen und das nur aufgrund meiner wohl falschen skizze..
|
|
|
|
