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| Aufgabe | Lösen sie in C folgende Gleichung:
(cosx +isinx)(cos2x + isin2x)(cos3x + isin3x)....(cosnx + isinnx)=1
n [mm] \varepsilon [/mm] N |
Hallo, weiss leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen könnte.
Kann mir da vielleicht jmd. weiterhelfen?
Dankeschön
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> Lösen sie in C folgende Gleichung:
> (cosx +isinx)(cos2x + isin2x)(cos3x + isin3x)....(cosnx +
> isinnx)=1
> n [mm]\varepsilon[/mm] N
> Hallo, weiss leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen
> könnte.
> Kann mir da vielleicht jmd. weiterhelfen?
Hallo,
bestimmt hattet Ihr in der Vorlesung die Euler-Formel [mm] e^{iy}=cosy+isiny, [/mm] die würde ich zunächst für die Faktoren verwenden.
Gruß v. Angela
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Dann folgt also
[mm] e^{ix} [/mm] * [mm] e^{2ix} [/mm] * [mm] e^{3ix} [/mm] .... * [mm] e^{nix}=1
[/mm]
ist
[mm] \produkt_{i=1}^{n} e^{nix} [/mm] = 1
und jetzt??
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> Dann folgt also
> [mm]e^{ix}[/mm] * [mm]e^{2ix}[/mm] * [mm]e^{3ix}[/mm] .... * [mm]e^{nix}=1[/mm]
> ist
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} e^{nix}[/mm] = 1
> und jetzt??
>
Nun würde ich mir überlegen, was [mm] e^a*e^b [/mm] ergibt.
Gruß v. Angela
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Danke vorerst mal für deine Hilfe aber ich komm trotzdem nicht wirklich weiter
es muss dann [mm] e^{(1+2+....+n)ix}=1 [/mm] sein
aber wie komm ich jetzt auf die Lösung der Gleichung?
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> Danke vorerst mal für deine Hilfe aber ich komm trotzdem
> nicht wirklich weiter
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> es muss dann [mm]e^{(1+2+....+n)ix}=1[/mm] sein
> aber wie komm ich jetzt auf die Lösung der Gleichung?
Schreibe diese Gleichung so
[mm]e^{i\frac{n(n+1)}{2}x}=e^{i 2k\pi}, k\in\IZ[/mm]
Also muss
[mm]\frac{n(n+1)}{2}x=2k\pi[/mm]
für ein [mm] $k\in\IZ$ [/mm] sein. Dies nach $x$ aufzulösen kann nun nicht mehr so schwierig sein.
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