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Hallo!
Ich habe versucht, obige Aufgabe zu lösen, bin aber auf einige Probleme gestoßen. Ich würde euch außerdem bitten, meine Ergebnisse zu kontrollieren:
Also... Zuerst habe ich versucht das Integral mittels Stammfunktion zu lösen:
[mm] $\integral_{1}^{-1}{\bruch{\log(z)}{z}\ dz} [/mm] = [mm] \left[\bruch{1}{2}*(\log(z))^{2}\right]_{1}^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log(-1)^{2} - \log(1)^{2}\right)$
[/mm]
[mm] $e^{z} [/mm] = [mm] e^{i*\phi} [/mm] = -1$ falls [mm] $\cos(\phi) [/mm] = -1$, also [mm] $\phi [/mm] = [mm] \pi$ [/mm] und somit $z = [mm] i*\pi$.
[/mm]
[mm] $e^{z} [/mm] = [mm] e^{i*\phi} [/mm] = 1$ falls [mm] $\cos(\phi) [/mm] = 1$, also [mm] $\phi [/mm] = 0$ und somit $z = i*0 = 0$.
$= [mm] \bruch{1}{2}*\left(\log(-1)^{2} - \log(1)^{2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left((i*\pi)^{2} - 0\right) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}*\pi^{2}$.
[/mm]
Hierzu habe ich aber eine Frage: Darf ich nun im Integral nach komplexen Zahlen integrieren oder nicht, d.h. muss ich das Integral erst aufspalten in Real- und Imaginärteil?
Nun zur Parametrisierung:
"Längs des Halbkreises in Im(z) [mm] \le [/mm] 0 ". Da das Integral ja die Grenzen von 1 bis -1 hat, meinen die also die untere Hälfte des Einheitskreises in der Gaußschen Zahlenebene, der jetzt als Weg herhalten soll?
Das wäre eine Parametrisierung
[mm] $\gamma:[0,\pi]\to\IC:t\mapsto e^{-i*t}$
[/mm]
Das kann ich jetzt ins Integral einsetzen:
[mm] $\integral_{1}^{-1}{\bruch{\log(z)}{z}\ dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{\log(z)}{z}\ dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{\log(\gamma(t))}{\gamma(t)}*\gamma'(t)\ dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{\log(e^{-i*t})}{e^{-i*t}}*(-i)*e^{-i*t}\ dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{-t\ dt} [/mm] = [mm] \left[-\bruch{1}{2}*t^{2}\right]_{0}^{\pi} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}*\pi^{2}$
[/mm]
Da kommt also dasselbe heraus (ist das gut?)
Ich hatte auch schonmal einen Fall, wo für zwei verschiedene Parametrisierungen Verschiedenes herausgekommen ist. Deswegen hier die Fragen:
Wann stimmt das Integral berechnet mit der Stammfunktion mit dem Integral per Parametrisierung überein?
Wann stimmt die Integrale überein, die über zwei verschiedene Parametrisierungen [mm] \gamma_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{2} [/mm] berechnet wurden?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Stefan,
eine mögliche Schwierigkeit bzw. Fehlerquelle bei
dieser Aufgabe kann sein, dass man keine auf ganz [mm] \IC [/mm]
stetige Logarithmusfunktion definieren kann.
Normalerweise definiert man die Logarithmen im
Komplexen so, dass der Imaginärteil des Logarithmus
im Intervall [mm] (-\pi,\pi] [/mm] liegt. Diese Logarithmusfunktion
ist dann allerdings der negativen reellen Achse entlang
unstetig. Für die vorliegende Aufgabe ist dies etwas
problematisch, da die eine Integrationsgrenze ja genau
auf dieser Grenzlinie liegt. Um eine Stammfunktion zu
erhalten, die über den gesamten Integrationsweg
(also hier den unteren Halbkreis) brauchbar ist, würde
hier eine kleine Modifikation genügen, indem man die
Imaginärteile im Intervall [mm] [-\pi,\pi) [/mm] wählt. Dann hat man
[mm] Log^{\*}(-1)=-\pi*i [/mm] anstatt [mm] Log(-1)=+\pi*i.
[/mm]
Am Ergebnis dieser Aufgabe ändert dies aber trotz-
dem nichts, weil ja [mm] (-\pi*i)^2=(+\pi*i)^2 [/mm] ist und auch,
weil die Modifikation sich nur auf einen Randpunkt des
Integrationsintervalls bezieht und deshalb auf den
Wert des Integrals keinen Einfluss hat.
LG Al-Chw.
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@ steppenhahn
Du mußt einen Zweig [mm]\log z[/mm] des Logarithmus wählen, für den auf dem Integrationsweg [mm]\arg z \in [ - \pi , 0 ][/mm] liegt. Das ist vollkommen unproblematisch. Allerdings gilt dann [mm]\log(-1) = - \operatorname{i} \pi[/mm]. Da ist somit ein Fehler in deiner Rechnung, der sich allerdings nicht auswirkt, weil du ja noch quadrierst. Darauf hat schon Al-Chwarizmi hingewiesen. Allerdings hat er wohl versehentlich das [mm]\operatorname{i}[/mm] vergessen. Sein Argument mit dem Randwert stimmt aber nicht. Denn hier geht es ja um den korrekten Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze und keineswegs nur um einen Randpunkt des Integrationsintervalls, das ja im übrigen auch eher eine Integrationskurve ist.
Wenn du die ansonsten analoge Aufgabe [mm]\int_1^{-1} \log z~\mathrm{d}z[/mm] löst, würde sich der Fehler durchaus bemerkbar machen. Zur Übung kannst du ja einmal den Wert des Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion und einer Parametrisierung berechnen.
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> .....
> Darauf hat schon Al-Chwarizmi
> hingewiesen. Allerdings hat er wohl versehentlich das
> [mm]\operatorname{i}[/mm] vergessen.
das stimmt: bei den Logarithmuswerten Log(-1) bzw.
[mm] Log^{\*}(-1) [/mm] habe ich das i vergessen - hab's inzwischen korrigiert
> Sein Argument mit dem Randwert stimmt aber nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
... eben doch: siehe unten !
> Denn hier geht es ja um den korrekten
> Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze und keineswegs
> nur um einen Randpunkt des Integrationsintervalls, das ja
> im übrigen auch eher eine Integrationskurve ist.
Dafür, dass dies zum Stimmen kommt, habe ich ja eben
gesorgt, indem ich als Stammfunktion einen Zweig des
Logarithmus genommen habe (mit [mm] Log^{\*} [/mm] bezeichnet), der
über die gesamte Integrationskurve hinweg stetig ist.
Man sollte aber wohl davon ausgehen, dass der Logarithmus
im vorgegebenen Integranden nicht [mm] Log^{\*} [/mm] ist, sondern der
"Standard"-Logarithmus, bei welchem eben [mm] Log(-1)=+i*\pi [/mm] ist.
Ich wollte darauf hinweisen, dass der Wert des Integranden
an diesem Randpunkt des Integrationsweges auf den Wert des
Integrals keinen Einfluss hat ("Änderung vom Maß Null").
LG Al
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Hallo Stefan,
die konkreten Fragen in Bezug auf das vorliegende
spezielle Integral sind wohl nach den Antworten von
Leopold und mir erledigt.
> Hierzu habe ich aber eine Frage: Darf ich nun im Integral
> nach komplexen Zahlen integrieren oder nicht, d.h. muss ich
> das Integral erst aufspalten in Real- und Imaginärteil?
Für die Integration mittels Stammfunktion (falls es eine
solche gibt, welche in einem Gebiet, das den gesamten
Integrationsweg in seinem Inneren enthält, gültig ist)
ist dies nicht notwendig.
Für die Berechnung des Integrals als Wegintegral kommt
man aber nicht darum herum.
> Ich hatte auch schonmal einen Fall, wo für zwei
> verschiedene Parametrisierungen Verschiedenes
> herausgekommen ist. Deswegen hier die Fragen:
> Wann stimmt das Integral berechnet mit der Stammfunktion
> mit dem Integral per Parametrisierung überein?
Wenn die Stammfunktion in einem Gebiet G mit [mm] \gamma \subset [/mm] G
holomorph (komplex differenzierbar) ist, ist dies der Fall.
> Wann stimmt die Integrale überein, die über zwei
> verschiedene Parametrisierungen [mm]\gamma_{1}[/mm] und [mm]\gamma_{2}[/mm]
> berechnet wurden?
Wenn eine Stammfunktion existiert, welche in einem
einfach zusammenhängenden Gebiet (ohne "Loch"),
welches die beiden Wege und ihr eingeschlossenes Gebiet
enthält, holomorph ist, ist dies der Fall.
LG Al-Chw.
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Hallo!
Danke für Eure Antworten, Al-Chwarizmi & Leopold_Gast!
Ist dann eine Parametrisierung über einen solchen Weg nicht einfach eine Art Substitution?
Ich wollte nochmal fragen, wie es denn jetzt richtig lauten würde. Ich habe verstanden, dass es so nicht geht wie ich [mm] \bruch{\log(z)}{z} [/mm] integriert habe, weil der Logarithmus als Stammfunktion an der linken Grenze des Intervalls [-1,1] nicht stetig ist bzw. nicht komplex differenzierbar.
Wie genau muss ich aber jetzt die Logarithmus-Funktion "umdefinieren", d.h. ihren Def. & Wertebereich verändern? Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Ich soll nach Leopold_Gast einen anderen "Zweig" wählen, aber könntet ihr mir bitte praktisch aufzeigen, was ich da zu tun habe?
Als ich die Aufgabe mit der Parametrisierung gelöst habe, tritt ja indirekt dasselbe Problem auf (theoretisch), praktisch jedoch nicht weil ich dann ja nur -t zu integrieren habe. Ist diese Teilaufgabe damit richtig gelöst?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 27.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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