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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | FÜr eine beliebige komplexe Zahl [mm] z_0 [/mm] seien die Lösungen der Gleichung [mm] z^6 [/mm] = [mm] z_0 [/mm] gesucht.
Welche Aussage lässt sich über die Anzahl der Wurzeln mit negativem Realteil machen? |
Hallo,
also ich habe mir gedacht [mm] z=r^\frac{1}6e^{i(\frac{\varphi}{n}+k*\frac{2*\pi}{n})}
[/mm]
Wenn die Wurzel einen negativen Realanteil haben soll dann muss gelten:
[mm] cos(\frac{\varphi}{n}+k*\frac{2*\pi}{n})<0
[/mm]
[mm] \left| \frac{\varphi}{n}+k*\frac{2*\pi}{n} \right|>\frac{1}2*\pi
[/mm]
ab hier bräuchte ich mal einen Tip :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst ja [mm] z_0 [/mm] auf dem einheitskreis haben. Dann überlege, wieviele Punkte eines sechsecks denn in einm halben Sechseck liegen müsen. Ausnahme: die Achse geht durch 2 Ecken.
warum schreibst du das im betrag, eigentlich hast du
[mm] \pi/2< \phi/6+k*\pi/3<3/2\pi
[/mm]
etwas mit n zu schrieben, wenn 6 gefragt ist ist nicht so geschickt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Hejo |
Dankeschön!
Also haben entweder 2 oder 3 der Wurzeln einen negativen Realanteil...
...oder 0 der Wurzeln haben einen negativen Realanteil, falls [mm] z_0=0[/mm]
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Hallo Hejo,
> Also haben entweder 2 oder 3 der Wurzeln einen negativen
> Realanteil...
Ja, und es lässt sich genau sagen, wann der Ausnahmefall von 2 Wurzeln mit negativem Realanteil auftritt. Ich nehme an, Du kennst die  Moivre-Formel? Sonst hättest Du leduarts Hinweis auf ein Sechseck eigentlich gar nicht folgen können.
> ...oder 0 der Wurzeln haben einen negativen Realanteil,
> falls [mm]z_0=0[/mm]
Gut, dass Du diesen Spezialfall erwähnst. Der gehört unbedingt in eine vollständige Lösung!
Grüße
reverend
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