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| Aufgabe | Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms und deren Vielfachheit.
Stellen Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren und Polynomen zweiten Grades ohne reelle Nullstelle mit jeweils reelen Koeffizienten dar.
[mm] p(z)=(z+i)^4+16 [/mm] |
Hallo Leute,
ich weiß leider nicht wirklich wie ich hier vorgehen muss.
Wie kann ich hier am besten anfangen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hi,
na am besten du fängst mit der ersten Aufgabe an. Bestimme alle Nullstellen des Polynoms, also:
[mm] 0=(z+i)^4+16
[/mm]
Nach den Sätzen der Algebra müssen es ingesamt 4 Lösungen sein.
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Hallo,
danke für die Antwort.
Wenn ich jetzt [mm] (z+i)^4=-16, [/mm] kann ich dann sagen [mm] (z+i)=\wurzel[4]{-16} [/mm] ?
Bei einer Substitution mit z=z+1 hätte ich dann ja
[mm] z=\wurzel[4]{-16} [/mm] r=2i [mm] \phi=0
[/mm]
Mit exponentieller Form
[mm] z_0=2i*e^0=2i
[/mm]
Wie komme ich aber zu den weiteren Lösungen und dem notwendigen Winkel?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 18.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Bei einer Substitution mit z=z+1 hätte ich dann ja
>
Willst du wirklich z+1 wegsubstituieren ?
Dann müsste die Aufgabe doch das Polynom [mm] (z+1)^4+16 [/mm] beinhalten.
Das würde insofern sinnvoll erscheinen, als nur dann der zweite Teil der Aufgabe eine Lösung hat.
Die geforderte Darstellung existiert für das Polynom [mm] (z+i)^4+16 [/mm] nicht.
Gruß Sax.
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Hallo mtr-studi,
> Wenn ich jetzt [mm](z+i)^4=-16,[/mm] kann ich dann sagen
> [mm](z+i)=\wurzel[4]{-16}[/mm] ?
Ja, außer dass dem Satz noch ein Verb fehlt...
Hier kommt Diophants Anmerkung nochmal voll zur Geltung.
> Bei einer Substitution mit z=z+1 hätte ich dann ja
Das kannst Du in einem Computerprogramm machen. Ansonsten solltest Du einen neuen Variablenbuchstaben einführen, z.B. $u$.
Außerdem willst Du doch offenbar etwas ganz anderes ersetzen, nämlich $u:=z+i$.
> [mm]z=\wurzel[4]{-16}[/mm] r=2i [mm]\phi=0[/mm]
Also hier [mm] u=\wurzel[4]{-16}.
[/mm]
Einen imaginären Radius habe ich in der Polarform noch nie gesehen. Das entspräche auch nicht der Definition!
Auch der Winkel stimmt nicht.
> Mit exponentieller Form
>
> [mm]z_0=2i*e^0=2i[/mm]
Stimmt doch nicht: [mm] (2i)^4=16 [/mm] und nicht -16.
> Wie komme ich aber zu den weiteren Lösungen und dem
> notwendigen Winkel?
Kennst Du die  Moivre-Formel?
> Vielen Dank im Voraus!
Grüße
reverend
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Hallo,
danke für die Antwort.
Die Formel kannte ich noch gar nicht, aber darf ich sicherlich verwenden.
Ich hätte hier ja mittels meiner (nun richtigen) Substitution [mm] z^4=-16. [/mm]
Für die Moivre Formel brauche ich ja den Betrag der komplexen Zahl. Also herausgefunden habe ich schon, dass z=-16 ist. Also muss ich davon jetzt Betrag nehmen und hätte [mm] r=|z|=\sqrt{-16^2}=16.
[/mm]
Jetzt muss ich also [mm] arctan(\frac{y}{x})=arctan(\frac{0}{-16})=0 [/mm] berechnen?
Die Moivre-Formel wäre ja dann
[mm] z_1=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+0*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+0*2\pi}{4}]=2
[/mm]
[mm] z_2=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+1*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+1*2\pi}{4}]=2i
[/mm]
[mm] z_3=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+2*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+2*2\pi}{4}]=-2
[/mm]
[mm] z_4=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+3*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+3*2\pi}{4}]=-2i
[/mm]
Jetzt habe ich aber noch nicht einbezogen, dass ich substituiert habe, wie mache ich das rückgängig. Die Ergebnisse ähneln sich mir ein bisschen zu sehr, ist das alles falsch??
Vielen Dank im Voraus!
EDIT:
Mir war aus der Erklärung im Forum nicht ersichtlich, ob das r jetzt die Wurzel aus dem Betrag ist oder eben aus dem z vom Anfang. Ansonsten würde natürlich dort jetzt überall stattdessen [mm] \sqrt{2}+\sqrt{2}i [/mm] usw. stehen.
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Hallo nochmal,
na, wird doch. 
> Hallo,
> danke für die Antwort.
>
> Die Formel kannte ich noch gar nicht, aber darf ich
> sicherlich verwenden.
>
> Ich hätte hier ja mittels meiner (nun richtigen)
> Substitution [mm]z^4=-16.[/mm]
Außer dass es immer noch ungeschickt ist, mit zwei verschiedenen $z$ zu arbeiten.
> Für die Moivre Formel brauche ich ja den Betrag der
> komplexen Zahl. Also herausgefunden habe ich schon, dass
> z=-16 ist. Also muss ich davon jetzt Betrag nehmen und
> hätte [mm]r=|z|=\sqrt{-16^2}=16.[/mm]
Jo. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt muss ich also
> [mm]arctan(\frac{y}{x})=arctan(\frac{0}{-16})=0[/mm] berechnen?
Nicht, dass es hier etwas ändert, aber erst solltest Du noch die vierte Wurzel aus dem Betrag ziehen.
> Die Moivre-Formel wäre ja dann
>
> [mm]z_1=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+0*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+0*2\pi}{4}]=2[/mm]
>
> [mm]z_2=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+1*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+1*2\pi}{4}]=2i[/mm]
>
> [mm]z_3=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+2*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+2*2\pi}{4}]=-2[/mm]
>
> [mm]z_4=\wurzel[4]{16}*[cos(\frac{0+3*2\pi}{4}+i*sin\frac{0+3*2\pi}{4}]=-2i[/mm]
>
> Jetzt habe ich aber noch nicht einbezogen, dass ich
> substituiert habe, wie mache ich das rückgängig. Die
> Ergebnisse ähneln sich mir ein bisschen zu sehr, ist das
> alles falsch??
Das ist oft so, dass die Ergebnisse einander ähneln. Es spricht eher dafür, dass Du richtig rechnest. Hier aber nicht.
> EDIT:
> Mir war aus der Erklärung im Forum nicht ersichtlich, ob
> das r jetzt die Wurzel aus dem Betrag ist oder eben aus dem
> z vom Anfang. Ansonsten würde natürlich dort jetzt
> überall stattdessen [mm]\sqrt{2}+\sqrt{2}i[/mm] usw. stehen.
Viel besser! - und sogar richtig.
Wie die Lösungen in der komplexen Zahlenebene liegen, steht schon weiter unten.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Di 18.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Ich muss mich morgen nochmal damit befassen, jetzt bin ich schon zu müde. :-(
Vielen Dank und gute Nacht!
Bis morgen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 18.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo mtr-studi!
> Also muss ich davon jetzt Betrag nehmen und
> hätte [mm]r=|z|=\sqrt{-16^2}=16.[/mm]
Achtung: hier fehlen unter der Wurzel entscheidende Klammern!
$|z| \ = \ |-16| \ = \ [mm] \wurzel{\red{(}-16\red{)}^2} [/mm] \ = \ +16$
Gruß
Loddar
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Hallo,
noch ein Zusatztipp für eine schnelle Lösung: wenn man die vier 4. Wurzeln von -16 kennen würde, dann wäre man hier fein heraus. Und na ja, wirklich schwierig ist es ja nun nicht, die zu finden...
Gruß, Diophant
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Hallo,
danke für die Antwort.
Ich würde ja vermuten es ist [mm] \sqrt{2}+\sqrt{2}i, [/mm] aber direkt zu meinen Lösungen bringt mich das ja noch nicht oder?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 18.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo mtr-studi!
Kennst Du die Moivre-Formel?
Die hilft Dir entscheidend weiter.
Gruß
Loddar
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Hallo nochmals,
[mm] \wurzel{2}+i\wurzel{2} [/mm] ist eine von vier gesuchten Wurzeln. Wenn man sich ein wenig mit den geometrischen Bedeutungen der Grundrechenarten sowie der Potenzrechnung in [mm] \IC [/mm] befasst, dann weiß man sofort, dass diese Wurzeln allesamt auf einem Kreis um 0 mit dem Radius r=2 liegen und diesen in vier rechtwinklige Sektoren aufteilen. Daraus ergibt sich dann wiederum, dass du die drei anderen Wurzeln erhältst, indem du einfach für die obige Wurzel sämtliche mögliche Vorzeichenkombinationen für Real- und Imaginärteil durchspielst. Dazu benötigt man die Moivre-Formel theoretisch nicht. Erarbeite sie dir aber trotzdem, sie ist sehr wichtig. Außerdem: in Klausuren muss man halt manchmal eher rechnen als denken, damit nachher was auf dem Papier steht. 
Gruß, Diophant
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