Komplexe Zahl im dritten Q. < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Real- und Imaginäranteil von [mm] z=\bruch{(1+j)}{(e^(255)*j)}+\bruch{50j}{3+4j} [/mm] |
Hallo zusammen. Solche Aufgaben habe ich immer mit dem Taschenrechner ausgerechnet: Also von Polar- in die Karthesische Form und umgekehrt. Meine Mathe-Professor hat mir aber nun gesagt, dass er diese Aufgabe ohne Taschenrechner gelöst haben möchte. Mein größtes Problem ist der Nenner im ersten Bruch: e^(225)*j Ist also eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1 im dritten Quadranten (winkelhalbierend). Um diese Zahl in die karthesische Form umzuwandeln brauche ich doch diese 2 Formeln: Re(z)= |z| * cos [mm] (\phi) [/mm] und Im(z) = |z| * sin [mm] (\phi)
[/mm]
Wie soll ich denn das ohne den Taschenrechner umrechnen? Bei dieser Zahl kommt ja dann raus: [mm] \bruch{-\wurzel{2}}{2}-j\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
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Hallo hans-itor,
> Bestimmen Sie den Real- und Imaginäranteil von
> [mm]z=\bruch{(1+j)}{(e^(255)*j)}+\bruch{50j}{3+4j}[/mm]
> Hallo zusammen. Solche Aufgaben habe ich immer mit dem
> Taschenrechner ausgerechnet: Also von Polar- in die
> Karthesische Form und umgekehrt. Meine Mathe-Professor hat
> mir aber nun gesagt, dass er diese Aufgabe ohne
> Taschenrechner gelöst haben möchte. Mein größtes
> Problem ist der Nenner im ersten Bruch: e^(225)*j Ist also
> eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1 im dritten Quadranten
> (winkelhalbierend). Um diese Zahl in die karthesische Form
> umzuwandeln brauche ich doch diese 2 Formeln: Re(z)= |z| *
> cos [mm](\phi)[/mm] und Im(z) = |z| * sin [mm](\phi)[/mm]
>
> Wie soll ich denn das ohne den Taschenrechner umrechnen?
Zeichen Dir diese komplexe Zahl in ein Koordinatensystem ein.
> Bei dieser Zahl kommt ja dann raus:
> [mm]\bruch{-\wurzel{2}}{2}-j\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Das habe ich bereits gemacht. Ich sehe ja auch, dass die Zahl eine winkelhalbierende ist. Aber wie lese ich dann daraus die [mm] -\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ab?
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Hallo hans-itor,
> Das habe ich bereits gemacht. Ich sehe ja auch, dass die
> Zahl eine winkelhalbierende ist. Aber wie lese ich dann
> daraus die [mm]-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ab?
Sicherlich weisst Du, daß
[mm]\vmat{\sin\left(225^{\circ}\right)}=\vmat{\cos\left(225^{\circ}\right)}[/mm]
Das machst Du Dir zunutze.
Es muss ja gelten:
[mm]\sin^{2}\left(225^{\circ}\right)+\cos^{2}\left(225^{\circ}\right)=1[/mm]
Gruss
MathePower
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Ja, das ist mir bewusst. Aber scheinbar stehe ich gerade auf dem Schlauch aber den cosinus von 225 habe ich leider nicht im Kopf.
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Hallo hans-itor,
> Ja, das ist mir bewusst. Aber scheinbar stehe ich gerade
> auf dem Schlauch aber den cosinus von 225 habe ich leider
> nicht im Kopf.
Nun, das kommt aus der Gleichung heraus,
welchen Wert [mm]\cos^{2}\left(225^{\circ}\right)[/mm] hat.
Gruss
MathePower
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Hallo hans-itor,
> Bestimmen Sie den Real- und Imaginäranteil von
> [mm]z=\bruch{(1+j)}{(e^{255}*j)}+\bruch{50j}{3+4j}[/mm]
Du kannst auch bei beiden Brüchen erst den Nenner reell machen. Erweitere dazu geschickt mithilfe der dritten binomischen Formel.
Zum Beispiel ist
[mm] \bruch{50j}{3+4j}=\bruch{50j(3-4j)}{(3+4j)(3-4j)}=\frac{150j+200}{25}=6j+8
[/mm]
LG
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Das ist ja die konjungierte komplexe Erweiterung. Die hätte ich danach noch gemacht. Aber was mache ich mit dem ersten Bruch?
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> Das ist ja die konjungierte komplexe Erweiterung. Die
> hätte ich danach noch gemacht. Aber was mache ich mit dem ersten Bruch?
[mm] \frac{j+1}{e^{255}j}=\frac{(j+1)j}{e^{255}j^2}=\frac{1-j}{e^{255}}.
[/mm]
Daran lassen sich Real- und Imaginärteil direkt ablesen.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 So 11.09.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Bestimmen Sie den Real- und Imaginäranteil von
> [mm]z=\bruch{(1+j)}{(e^(255)*j)}+\bruch{50j}{3+4j}[/mm]
> Hallo zusammen. Solche Aufgaben habe ich immer mit dem
> Taschenrechner ausgerechnet: Also von Polar- in die
> Karthesische Form und umgekehrt. Meine Mathe-Professor hat
> mir aber nun gesagt, dass er diese Aufgabe ohne
> Taschenrechner gelöst haben möchte. Mein größtes
> Problem ist der Nenner im ersten Bruch: e^(225)*j Ist also
> eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1 im dritten Quadranten
> (winkelhalbierend).
Die Zahl die du wohl meinst, würde man eher so schreiben: [mm] e^{5/4\pi*j}.
[/mm]
[mm] e^{255}*j [/mm] hingegen ist eine Zahl auf der imaginären Achse in der komplexen Zahlenebene...
(?)
LG
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