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Komplexe Zahlen: Beweis bzw. Umformung
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:52 Fr 29.10.2004
Autor: Norok

ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Hallo,


habe noch nie mit komplexen zahlen gerechnet und muß folgendes lösen:

Sei x + iy  [mm] \varepsilon [/mm] der komplexen Zahlen C        
so sei    [mm] \overline{x + iy} [/mm] = x - iy
die zu x + iy     konjugierte Zahl. zeigen Sie dass stets
(x + iy ) *    [mm] \overline{(x + iy)} [/mm] =  x*x + y*y
                                                                                
Benutzensie dies Beziehung um
über dem bruchstrich:1 + i 2   =    (1 + i 2)  [mm] \overline{( 2 + i2)} [/mm]                                                

Unter dem bruchstrich  2 + i2     =   (2 + i2)   [mm] \overline{(2 + i2)} [/mm]

in der Form  x+ iy darzustellen

Wär klasse wenn mir da jemand helfen könnte


Norok

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Fr 29.10.2004
Autor: Paulus

Hallo Norok

ich versuche einmal, diese unleserliche Frage auf eine schönere Form zu bringen. Vielleicht kann dann das ja jemand mit guten Mathekenntnissen beantworten.

ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
Internetseiten gestellt

Hallo liebe Leute,

habe noch nie mit komplexen Zahlen gerechnet und muß
folgendes lösen:
  
Sei $x + iy [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm]      
  
So sei [mm] $\overline{x + iy} [/mm] = x - iy$
die zu $x + iy_$ konjugierte Zahl.

Zeigen Sie dass stets gilt:

$(x + iy ) * [mm] \overline{(x + iy)} [/mm] =  [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}$ [/mm]
                                                            
                      
Benutzen sie diese Beziehung, um

[mm] $\bruch{1 + 2i}{2 + 2i}=\bruch{(1+2i)*\overline{( 2 + 2i)}}{(2 + 2i)*\overline{(2 + 2i)}}$ [/mm]

in der Form  $x+ iy_$ darzustellen.

Wär Klasse, wenn mir da jemand helfen könnte!

Mit lieben Grüßen

Norok

P.S. Dieses Mathe-Forum ist wirklich der Hammer, Kompliment!


Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Fr 29.10.2004
Autor: Marcel

Hallo Norok,

> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  
> Hallo,
>  
>
> habe noch nie mit komplexen zahlen gerechnet und muß
> folgendes lösen:
>  
> Sei x + iy  [mm]\varepsilon[/mm] der komplexen Zahlen C        
> so sei    [mm]\overline{x + iy}[/mm] = x - iy
>  die zu x + iy     konjugierte Zahl. zeigen Sie dass
> stets
>  (x + iy ) *    [mm]\overline{(x + iy)}[/mm] =  x*x + y*y

                                                            
Ich denke, dass du das alleine schaffen kannst mit folgendem Hinweis:
[mm] $(x+iy)*\overline{(x+iy)}=(x+iy)*(x-iy)$ [/mm]
Jetzt wende die dritte binomische Formel an (oder multipliziere einfach aus :-)) und beachte ferner, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] gilt, dann steht es schon da! :-)
                      

> Benutzensie dies Beziehung um
> über dem bruchstrich:1 + i 2   =    (1 + i 2)  [mm]\overline{( 2 + i2)}[/mm]

>

> Unter dem bruchstrich  2 + i2     =   (2 + i2)  
> [mm]\overline{(2 + i2)}[/mm]
>
> in der Form  x+ iy darzustellen

Ok, dank Paulus weiß ich nun Bescheid. :-)

Man soll eigentlich die komplexe Zahl [mm] $\frac{1+i*2}{2+i*2}$ [/mm] in die gewünschte Form bringen.

Hier:
[mm] $(\star)$[/mm]  [m]\frac{1+i*2}{2+i*2}=\frac{(1+i*2)*\overline{(2+i*2)}}{(2+i*2)*\overline{(2+i*2)}}[/m]
wurde schon mit [mm] $\overline{(2+i*2)}$ [/mm] erweitert, das sollte als Tipp zu der Aufgabe verstanden werden!

Tipp dazu:
Es gilt ja die Gleichung [mm] $(\star)$. [/mm] Das Folgende bezieht sich nun auf die rechte Seite der Gleichung [mm] $(\star)$: [/mm]
Verwende die erste Beziehung (Erinnerung: das war: [m](x+i*y)*\overline{(x+i*y)}=x*x+y*y[/m]) im Nenner (dann ist der nur noch reellwertig!). Im Zähler ersetzt du zunächst [mm] $\overline{(2+i*2)}$ [/mm] durch $(2-i*2)_$ (das ist ja gerade so definiert), multiplizierst danach aus und sortierst etwas um. Überlege dir mal, wie man dann auf die gewünschte Form kommt. :-)

PS: Immer dran denken: [mm] $i^2=i*i=-1$ [/mm] ;-)

Viele Grüße,
Marcel

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