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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 17.05.2007 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Es sei z [mm] \in \IC. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \left|z+1\right| [/mm] > [mm] \left|z-1\right| \gdw [/mm] Re(z)>0
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Hallo.
Hab jetzt mal bei der [mm] \Rightarrow-Richtung [/mm] gecshrieben:
[mm] \left|z+1\right|=\left|(x+1)+i*y\right|=\wurzel{(x+1)^2+y^2}
[/mm]
Ebenso: [mm] \left|z-1\right|=...=\wurzel{(x-1)^2+y^2}.
[/mm]
Soweit so gut...aber wie komm ich dann jetzt auf die Folgerung Re(z)>0.
[mm] \left|z+1\right|>\left|z-1\right| [/mm] ist ja klar, weil [mm] (x+1)^2>(x-1)^2, [/mm] oder?!
Und was mach ich dann bei der Rückrichtung?
Vielen Dank, Marina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 17.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\left|z+1\right|>\left|z-1\right|[/mm] ist ja klar, weil
> [mm](x+1)^2>(x-1)^2,[/mm] oder?!
Öhm, nö, das stimmt nur für bestimmte x ... also für welche, die genau deine Bedingungen erfüllen. Setze mal [m]x=-1[/m] ein!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 17.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Ja,stimmt...aber jetzt komm ich erst recht nicht mehr weiter!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Eigendlich ist dein erster Ansatz doch schon gut:
$\wurzel{(x+1)^2+y^2}>\wurzel{(x-1)^2+y^2}$
DAs kann gefahrlos quadriert werden, weil das unter der Wurzel eh immer positiv ist.
$(x+1)^2+y^2}>{(x-1)^2+y^2}$
Jetzt zieht man das y ab:
$(x+1)^2}>{(x-1)^2}$
Um sich jetzt nicht mit Wurzeln rumzuschlagen (Fallunterscheidung), hier einfach mal die binomischen Formeln anwenden:
$2x>-2x$
Und das gilt nur für x>0.
Wenn du genau hin schaust, waren das alles äquivalenzumformungen, weil da niemals was negatives im Spiel war, demnach reicht das.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 18.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Ah ja,ok...Hab ich jetzt soweit verstanden...Aber was mach ich denn bei der [mm] \Leftarrow [/mm] Richtung?Also wenn Re(z)>0 gegeben ist und ich dann [mm] \right|z+1\left|>\right|z-1\left| zeigen muss?!Wie soll ich da anfangen?!
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
So wie Event_Horizon oben bereits geschrieben hat: da er in seinem Nachweis lediglich Äquivalenzumformungen benutzt hat, ist die Rückrichtung nicht mehr separat zu zeigen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Fr 18.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Achso...ja,stimmt...hab ich wohl überlesen! Danke nochmal!
Grüße, Marina
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