Komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 So 21.11.2004 | | Autor: | moebak |
Mache gerade eine kleine Wiederholung, habe aber Mühe bei der folgenden Erläuterung:
z = 1+2i hat den Betrag |z| = [mm] \wurzel{1+4}= \wurzel{5}....
[/mm]
ist es aber nicht so, dass wenn man i quadriert, eine -1 erhält, und wenn diese vor einer Zahl wie in diesem Beispiel die vier steht, dass daraus eine - 4 wird???
also, ich brauche eure hilfe, so dumm diese Frage für andere auch scheinen mag.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo moebak!
> ist es aber nicht so, dass wenn man i quadriert, eine -1 erhält, und wenn diese vor einer Zahl wie in diesem Beispiel die vier steht, dass daraus eine - 4 wird???
Dein Denkfehler liegt in der Definition des Betrages. Führe dir die Gaußsche Zahlenebene vor Augen: dort wird eine komplexe Zahl $z=a+bi$ als Punkt (a|b), also mit Abszisse a und Ordinate b eingetragen. Unter dem Betrag versteht man nun den Abstand vom Ursprung (0|0), also nach dem Satz des Pythagoras [mm] $\sqrt{a^2+b^2}$. [/mm] Wie du siesht, kommen in dieser Definition lediglich die Komponenten der komplexen Zahl zur Geltung, nicht aber die imaginäre Einheit i. Somit ist es schon richtig, dass der Betrag von $z=1+2i$ wegen a=1 und b=2 den Wert [mm] $\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{5}$ [/mm] hat.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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