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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mi 08.12.2004 | | Autor: | luna2804 |
Hallo zusammen,
hier hab ich mal wieder einige Fragen.
Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:
Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
i) [mm] (5+i)^{3}
[/mm]
Ich habe als Ergebnis 110 + 74 i
Kann das stimmen ?
ii) [mm] \bruch{1}{6-i}
[/mm]
Ich hab [mm] \bruch{6}{37} [/mm] + [mm] \bruch{i}{37} [/mm] rausbekommen
Ist das richtig
iii) [mm] (1+i)^{1001}
[/mm]
Hier erhalte ich als Ergebnis [mm] \wurzel{2}^{1001} [/mm] * [mm] e^{i\bruch{5}{4}\pi} [/mm]
Bei dieser Augabe bin ich total unsicher und hoffe, dass sie richtig ist.
Dann soll ich noch alle komplexen Zahlen z finden,
die die Gleichung [mm] z^{2}=i [/mm] erfüllen und hier hab ich leider gar keine Lösungsidee.
Vielen Dank schonmal für jede Hilfe.
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Halli hallo!
> Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
>
> i) [mm](5+i)^{3}
[/mm]
> Ich habe als Ergebnis 110 + 74 i
> Kann das stimmen ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ii) [mm]\bruch{1}{6-i}
[/mm]
> Ich hab [mm]\bruch{6}{37}[/mm] + [mm]\bruch{i}{37}[/mm] rausbekommen
> Ist das richtig
> iii) [mm](1+i)^{1001}
[/mm]
> Hier erhalte ich als Ergebnis [mm]\wurzel{2}^{1001}[/mm] *
> [mm]e^{i\bruch{5}{4}\pi}[/mm]
> Bei dieser Augabe bin ich total unsicher und hoffe, dass
> sie richtig ist.
Also z=(1+i) habe ich in der Form: [mm] z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
Also folgt für [mm] z^{1001}:
[/mm]
[mm] \wurzel{2}^{1001}*e^{i*\bruch{1001}{4}*\pi}
[/mm]
Ich habe also nur den letzten Teil anders als du....
Ich hab die Formel von Moivre genommen, die besagt:
[mm] (p(cos\phi+i*sin\phi))^{n}=(p^{n}(cos(n\phi)+i*sin(n\phi)))
[/mm]
> Dann soll ich noch alle komplexen Zahlen z finden,
> die die Gleichung [mm]z^{2}=i[/mm] erfüllen und hier hab ich leider
> gar keine Lösungsidee.
Hier würd ich einfach sagen:
[mm] z^{2}=i [/mm] , dann Wurzel ziehen:
[mm] z=\pm\wurzel{i}
[/mm]
Damit wärst du meiner Meinung nach fertig....
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Tim |
hallo- die ersten beiden berechnungen kann ich ohne weiteres nachvollziehen, bei der letzteren tu ich mich schwer, kann die mir jmd von euch nochmal erklären?? also- was mache ich bei einem so hohen exponenten- kann ich ja schlecht alles ausmultipl.
muss unter anderem noch diese lösen:
[mm] \bruch{1}{i} \wurzel{1-i}
[/mm]
idee?
vielen dank im vorraus.
gruß tim
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Bei ner Aufgabe wie [mm](1+i)^{2001}[/mm] kommst du nicht drum rum, dir Gedanken über Betrag und Argument der komplexen Zahl zu machen.
Zuerst: "Betrag" ist die Länge des zugehörigen Vektors in der komplexen Zahlenebene (berechnest du über den Pythagoras), und "Argument" bezeichnet den Winkel, den dieser Vektor mit der reellen Achse einschließt.
Haben wir eine komplexe Zahl z mit Betrag r und Argument [mm]\phi[/mm], so können wir die Zahl schreiben als [mm]z=r \cdot e^{i \cdot \phi}[/mm]. Und damit erleichtert sich die Multiplikation (bzw. Potenzierung) erheblich.
Bei [mm](1+i)^{2001}[/mm] rechnen wir so:
Betrag: [mm]|1+i|=\wurzel{1^2+1^2}=\wurzel{2}[/mm] (also [mm]\wurzel{Realteil^2+Imaginärteil^2}[/mm]).
Argument: in der komplexen Zahlenebene sehen wir, dass diese Zahl mit der reellen Achse den Winkel [mm]45°[/mm] einschließt, was im Bogenmaß [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] entspricht.
Die Zahl [mm](1+i)^{2001}[/mm] heißt also umgeschrieben: [mm](\wurzel{2} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{4}})^{2001}[/mm]
Jetzt noch die Potenzgesetze anwenden, und am Schluß kannst du die Zahl wieder in die Form [mm]a + i \cdot b[/mm] bringen (falls das verlangt ist).
Bei deiner Aufgabe gehst du ähnlich vor:
zuerst mal das [mm]\bruch{1}{i}[/mm]. Erweitern mit i zeigt, dass gilt: [mm]\bruch{1}{i}=-i[/mm]. Und diese Zahl umgeschrieben lautet: [mm]e^{-i \cdot \bruch{\pi}{2}}[/mm] (Betrag und Argument kannst du ja selber nachrechnen).
Dann die Wurzel: zuerst betrachtest du nur den Term unter der Wurzel.
Umschreiben ergibt: [mm]1-i = \wurzel{2} \cdot e^{-i \cdot \bruch{\pi}{4}}[/mm].
Dann nur noch [mm]\wurzel{x}=x^{\bruch{1}{2}}[/mm], sowie die Potenzgesetze anwenden, und schon hast du beide Faktoren umgeschrieben.
Diese noch miteinander multiplizieren, und das Ergebnis wieder in die Form [mm]a + i \cdot b[/mm] bringen, und fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 09.12.2004 | | Autor: | Tim |
dann ist doch:
(a) [mm] \bruch{2+3i}{3-2i} [/mm] = i also Re=0 Im=1
und
(b) [mm] (-1+i)^6 [/mm] = [mm] 8e^{i 2\pi}
[/mm]
wie bringe ich das auf die form a+ib ?
und
(c) /bruch{1}{i} [mm] \wurzel{1-i} [/mm] = [mm] 2e^{-i \bruch{5}{8} \pi}
[/mm]
und dies auch auf form a+ib?
vielen dank aber für die umfangreichen erläuterungen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 09.12.2004 | | Autor: | kuroiya |
zu a) genau so!
zu b) und c)
hier verwendest du noch die Idendität [mm] e^{it} [/mm] = cos(t) + i sin(t), dann bist du eigentlich auch schon fertig!
(hab hier nicht nachgerechnet, ob die Zwischenresultate stimmen, aber wird hoffentlich so sein)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 09.12.2004 | | Autor: | Tim |
das hat mir sehr weitergeholfen- auch bei anderen aufgaben! vielen dank!
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