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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 23.02.2009 | | Autor: | sharth |
| Aufgabe | 1. Für welche [mm] $\underline{z} \in \IC$ [/mm] gilt: [mm] $\underline{z}^2*(1+j) [/mm] = [mm] \underline{z}*(1-j)$
[/mm]
2.Zu bestimmen sind [mm] \underline{z}_1 [/mm] und [mm] \underline{z}_2
[/mm]
[mm] $\underline{z}_{1}+\underline{z}_2 [/mm] = 4$
[mm] $\underline{z}_1*\underline{z}_2 [/mm] = 8$
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Hallo allerseits,
ich habe bei den oben angegebenen Aufgaben keine Ahnung wie ich ansetzen soll. Bei der 2. Aufgabe habe ich die 1. Gleichung nach z1 umgestellt und in die 2. Gleichung eingesetzt aber auch das hat mich nicht weitergebracht.
Wäre dankbar für ein paar hilfreiche Tipps.
Grüße,
sharth
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Hallo sharth,
> 1. Für welche [mm]\underline{z} \in \IC[/mm] gilt:
> [mm]\underline{z}^2*(1+j) = \underline{z}*(1-j)[/mm]
>
> 2.Zu bestimmen sind [mm]\underline{z}_1[/mm] und [mm]\underline{z}_2[/mm]
> [mm]\underline{z}_{1}+\underline{z}_2 = 4[/mm]
>
> [mm]\underline{z}_1*\underline{z}_2 = 8[/mm]
>
> Hallo allerseits,
>
> ich habe bei den oben angegebenen Aufgaben keine Ahnung wie
> ich ansetzen soll. Bei der 2. Aufgabe habe ich die 1.
> Gleichung nach z1 umgestellt und in die 2. Gleichung
> eingesetzt aber auch das hat mich nicht weitergebracht.
> Wäre dankbar für ein paar hilfreiche Tipps.
Bei der ersten Aufgabe setze [mm] $z:=x+j\cdot{}y$ [/mm] mit [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] ein und rechne die Produkte beiderseits des Gleichheitszeichens aus.
Dann vergleiche Real- und Imaginärteil (bedenke, dass Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl eindeutig sind!)
Bei der anderen ganz ähnlich, setze [mm] $z_1=a+jb$ [/mm] und [mm] $z_2=x+jy$, [/mm] dann die jeweils linken Seiten ausrechnen und nach Real- und Imaginärtiel sortieren und mit der rechten Seite vergleichen (Eind. von Real- und Imag.teil!)
Damit bekommst du 4 Gleichungen in den reellen Unbekannten $a,b,x,y$
>
> Grüße,
>
> sharth
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mi 25.02.2009 | | Autor: | sharth |
Hallo,
danke für eure Antworten. Ich habe zwar nicht alles verstanden aber ich schreibe erstmal auf wie weit ich gekommen bin:
Zu 2)
$ [mm] \underline{z}_{1}+\underline{z}_2 [/mm] = 4 $
$ [mm] \underline{z}_1\cdot{}\underline{z}_2 [/mm] = 8 $
1. Gl. nach [mm] \underline{z}_{1} [/mm] umstellen:
[mm] $\underline{z}_{1}=4- \underline{z}_{2}$
[/mm]
nun in Gl.2 einsetzen, ergibt:
[mm] $\underline{z}_{2}^2-4 \underline{z}_{2}+8 [/mm] = 0$
[mm] $\underline{z}_{2} [/mm] = a+jb$
einsetzen und ausmultiplizieren:
[mm] $a^2-b^2+2jab-4a-4jb+8=0$
[/mm]
Ordnen:
[mm] $a^2-b^2-4a+8+j(2ab-4b)=0$
[/mm]
Kann ich nun Real-und Imaginärteil getrennt betrachten?
[mm] (I)$a^2-b^2-4a+8$
[/mm]
(II)$2ab-4b$
Bei (II) kann b ausgeklammert werden. Nun weiß ich aber absolut nicht wie ich weiter verfahren muss.
Wäre super wenn noch jemand einen Tipp parat hätte.
Viele Grüße,
sharth
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Hallo sharth,
> Hallo,
>
> danke für eure Antworten. Ich habe zwar nicht alles
> verstanden aber ich schreibe erstmal auf wie weit ich
> gekommen bin:
>
> Zu 2)
> [mm]\underline{z}_{1}+\underline{z}_2 = 4[/mm]
>
> [mm]\underline{z}_1\cdot{}\underline{z}_2 = 8[/mm]
>
> 1. Gl. nach [mm]\underline{z}_{1}[/mm] umstellen:
> [mm]\underline{z}_{1}=4- \underline{z}_{2}[/mm]
> nun in Gl.2
> einsetzen, ergibt:
> [mm]\underline{z}_{2}^2-4 \underline{z}_{2}+8 = 0[/mm]
>
> [mm]\underline{z}_{2} = a+jb[/mm]
> einsetzen und ausmultiplizieren:
> [mm]a^2-b^2+2jab-4a-4jb+8=0[/mm]
> Ordnen:
> [mm]a^2-b^2-4a+8+j(2ab-4b)=0[/mm]
> Kann ich nun Real-und Imaginärteil getrennt betrachten?
> (I)[mm]a^2-b^2-4a+8[/mm]
> (II)[mm]2ab-4b[/mm]
> Bei (II) kann b ausgeklammert werden. Nun weiß ich aber
> absolut nicht wie ich weiter verfahren muss.
> Wäre super wenn noch jemand einen Tipp parat hätte.
Nun aus (II) ergeben sich zwei Fälle:
[mm]2ab-4b= 2b\left(a-2\right)=0 \Rightarrow b=0 \vee a-2=0[/mm]
Untersuche nun die Lösungen der Gleichung (I) für diese zwei Fälle.
>
> Viele Grüße,
>
> sharth
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 25.02.2009 | | Autor: | sharth |
Danke für die schnelle Antwort!
> Nun aus (II) ergeben sich zwei Fälle:
>
> [mm]2ab-4b= 2b\left(a-2\right)=0 \Rightarrow b=0 \vee a-2=0[/mm]
>
> Untersuche nun die Lösungen der Gleichung (I) für diese
> zwei Fälle.
1.Fall (b=0)
[mm] $a^2-4a+8=0$
[/mm]
[mm] $a=2\pm\wurzel{4-8}$
[/mm]
Die Würzel wird nun negativ. Aber wegen der komplexen Zahlen ist das wahrscheinlich erlaubt. Trotzdem hatte ich diesen Fall bisher nicht und stehe wieder auf dem Schlauch.
2.Fall (a=2)
[mm] $4-b^2-8+8=0$
[/mm]
[mm] $b=\pm\wurzel{2}$
[/mm]
So weit so gut, bzw. eher nicht gut, weil ich das Ganze nicht selbst lösen kann.
Schönen Abend,
sharth
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Hallo sharth,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> > Nun aus (II) ergeben sich zwei Fälle:
> >
> > [mm]2ab-4b= 2b\left(a-2\right)=0 \Rightarrow b=0 \vee a-2=0[/mm]
>
> >
> > Untersuche nun die Lösungen der Gleichung (I) für diese
> > zwei Fälle.
> 1.Fall (b=0)
> [mm]a^2-4a+8=0[/mm]
> [mm]a=2\pm\wurzel{4-8}[/mm]
> Die Würzel wird nun negativ. Aber wegen der komplexen
> Zahlen ist das wahrscheinlich erlaubt. Trotzdem hatte ich
> diesen Fall bisher nicht und stehe wieder auf dem
> Schlauch.
Nein, das ist nicht erlaubt, weil a,b reell sein müssen.
Somit besitzt die obige Gleichung keine Lösung in [mm]\IR[/mm].
>
> 2.Fall (a=2)
> [mm]4-b^2-8+8=0[/mm]
> [mm]b=\pm\wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So weit so gut, bzw. eher nicht gut, weil ich das Ganze
> nicht selbst lösen kann.
> Schönen Abend,
>
> sharth
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 25.02.2009 | | Autor: | sharth |
Hallo MathePower,
in der Aufgabe war ja nach z1 und z2 gefragt. Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie nun die Lösung zu formulieren ist. Ist die Lösung [mm] $b=\pm\wurzel{2}$ [/mm] der Realteil? Und gibt es noch einen imaginären Teil. Das kann ich aus meiner Lösung irgendwie nicht erkennen.
Viele Grüße,
sharth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 25.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch jetzt ein a und 2 verschiedene b
also ist
[mm] z1=a+i\wurzel{2}
[/mm]
[mm] z2=a-i\wurzel{2}
[/mm]
uebrigens, die 2 Loesungen jeder komplexen quadratischen Gleichung sind immer konjugiert komplex,
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 25.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> 1. Für welche [mm]\underline{z} \in \IC[/mm] gilt:
> [mm]\underline{z}^2*(1+j) = \underline{z}*(1-j)[/mm]
Man sieht sofort: z= 0 ist eine Lösung. Ist z [mm] \not=0 [/mm] , so ergibt sich:
[mm]\underline{z}*(1+j) = (1-j)[/mm]
>
> 2.Zu bestimmen sind [mm]\underline{z}_1[/mm] und [mm]\underline{z}_2[/mm]
> [mm]\underline{z}_{1}+\underline{z}_2 = 4[/mm]
>
> [mm]\underline{z}_1*\underline{z}_2 = 8[/mm]
Es ist [mm] z_1 [/mm] = [mm] 4-z_2
[/mm]
Setze dies in die 2. Gl. ein und Du erhäst eine quadr. G. für [mm] z_2
[/mm]
FRED
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> Hallo allerseits,
>
> ich habe bei den oben angegebenen Aufgaben keine Ahnung wie
> ich ansetzen soll. Bei der 2. Aufgabe habe ich die 1.
> Gleichung nach z1 umgestellt und in die 2. Gleichung
> eingesetzt aber auch das hat mich nicht weitergebracht.
> Wäre dankbar für ein paar hilfreiche Tipps.
>
> Grüße,
>
> sharth
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