Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Limboman |
Hallo Ihr!
Ich stehe hier vor einem Problem und brauche irgendwie einen Anfang das ich weiterkomme.
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass es zu jedem $z [mm] \in \IC\(- \infty,0]$ [/mm] genau eine komplexe Zahl $w$ gibt mit [mm] $w^{2} [/mm] = z$ und [mm] $\mathrm{Re}(w) [/mm] > 0$. Man nennt $w$ den Hauptteil der Wurzel von $z$ und schreibt $w = [mm] \wurzel{z}$. [/mm] |
Die Rechenregeln für komplexe Zahlen sind mir bekannt. Ich verstehe aber nicht wie ich bei dieser Aufgabe Anfangen soll.
Mein Gedanke war:
Ich habe zwei komplexe Zahlen w und z welche ja als w=x+iy und z=x+iy definiert sind. und ich weiß das [mm] w^{2} [/mm] = z ist.
So würde ich auf diesen Anfang kommen.
[mm] |w|^{2}=w\overline{w}=(x+iy)(\overline{x}+i\overline{y})
[/mm]
Aber das bringt mich irgendwie nicht weiter.
Bitte helft mir!
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> Beweisen Sie, daß es zu jedem z [mm]\in \IC\(- \infty,0][/mm] genau
> eine komplexe Zahl w gibt mit [mm]w^{2}[/mm] = z und Re w > 0.
> [...]
frage: was ist mit z [mm]\in \IC (- \infty,0][/mm] gemeint? Dass sich die Realteile der komplexen Zahlen im Bereich [mm] (- \infty,0] [/mm] befinden oder die Imaginaerteile, oder beide?
> [...]
> Mein Gedanke war:
> Ich habe zwei komplexe Zahlen w und z welche ja als w=x+iy
> und z=x+iy definiert sind. und ich weiß das [mm]w^{2}[/mm] = z ist.
> So würde ich auf diesen Anfang kommen.
> [mm]|w|^{2}=w\overline{w}=(x+iy)(\overline{x}+i\overline{y})[/mm]
> Aber das bringt mich irgendwie nicht weiter.
Da musst du sehr aufpassen:
[mm]|w|^{2}\not=w^2[/mm] fuer manche [mm] w \in \IC [/mm] (eigentlich alle mit [mm] Im(w) \not= 0 [/mm])
einfaches Beispiel:
[mm]|i|^2 = (i)*(-i) = - i^2 = -(-1) =1[/mm]
hingegen:
[mm] i^2 = -1 [/mm]
das bringt dich also nicht viel weiter.
Machs dir selber nicht so kompliziert und stell dir das ganze in Polarkoordinaten vor. Quadrieren heisst dann, dass sich die Laengen der Vektoren quadrieren und die Winkel verdoppeln, bzw. Wurzelziehen hat die Wurzel der Vektorlaenge und einen halben Winkel zur Folge (erste Loesung - und bei der zweiten Loesung addiert man zum halbierten Winkel dann [mm] \pi [/mm] hinzu).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Limboman |
Alles klar. So werde ich es mal ausprobieren.
Vielen dank
|
|
|
|
