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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Do 19.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie [mm] z_{3}!
[/mm]
[mm] z_{1}=-10+i15
[/mm]
[mm] z_{2}=-2-i(2\wurzel{3})
[/mm]
[mm] z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}} [/mm] |
Hallo habe eine Frage an Euch!
[mm] z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}
[/mm]
[mm] z_{3}=\bruch{2-i(2\wurzel{3})}{-10+i15}
[/mm]
Allgemeine Formel lautet:
[mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i\bruch{b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}
[/mm]
BITTE NICHT DURCH DEN INDEX TÄUSCHEN LASSEN. DIES IST EINE ALLGEMEINE FORMEL UND BEZIEHT SICH NICHT AUF DIESE AUFGABE!
[mm] =\bruch{(-2)(-10)-i^{2}(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}
[/mm]
Was mache ich nun mit dem Nenner, wenn ich es weiter zusammenfassen möchte?
[mm] =\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100-225}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100-225}
[/mm]
oder
[mm] =\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100+150i-150i-225i^{2})}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100+150i-150i-225i^{2})}
[/mm]
[mm] =\bruch{20-(30\wurzel{3})}{325}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{325}
[/mm]
Bitte mit Grund! Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Ermitteln Sie [mm]z_{3}![/mm]
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> [mm]z_{1}=-10+i15[/mm]
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> [mm]z_{2}=-2-i(2\wurzel{3})[/mm]
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> [mm]z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
> Hallo habe eine Frage an Euch!
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> [mm]z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
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> [mm]z_{3}=\bruch{2-i(2\wurzel{3})}{-10+i15}[/mm]
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> Allgemeine Formel lautet:
>
> [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i\bruch{b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}[/mm]
>
> BITTE NICHT DURCH DEN INDEX TÄUSCHEN LASSEN. DIES IST EINE
> ALLGEMEINE FORMEL UND BEZIEHT SICH NICHT AUF DIESE
> AUFGABE!
Die allgemeine Formel ist recht sinnfrei, wenn du nicht vorher erklärst, was [mm]z_1, z_2[/mm] sind.
Für [mm]z_1=\alpha+i\cdot{}\beta[/mm] und [mm]z_2=\mu+i\cdot{}\nu[/mm] kann ich die "allg. Formel" nicht nachvollziehen.
>
> [mm]=\bruch{(-2)(-10)-i^{2}(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}[/mm]
Die Nenner sind falsch, wenn du [mm]z_2=a_2+i\cdot{}b_2[/mm] hast, so muss im Nenner [mm]a_2^2+b_2^2=(\operatorname{Re}(z_2))^2+(\operatorname{Im}(z_2))^2[/mm] stehen, das "i" hat da nix verloren.
>
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}[/mm]
>
> Was mache ich nun mit dem Nenner, wenn ich es weiter
> zusammenfassen möchte?
>
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100-225}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100-225}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100+150i-150i-225i^{2})}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100+150i-150i-225i^{2})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{325}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{325}[/mm]
Merke dir auf KEINEN Fall eine solche allgemeine Formel.
Wenn du einen Bruch mit komplexem Nenner hast, so kannst du den Nenner reell machen, indem du den Bruch mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweiterst.
Also [mm]\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot{}\red{\overline{z}_2}}{\underbrace{z_2\cdot{}\overline{z}_2}_{\in\IR}}=\frac{z_1\cdot{}\overline{z}_2}{(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2}[/mm]
Hier also [mm] $\frac{z_2}{z_1}=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{-10+15i}=\frac{(-2-2\sqrt{3}i)\cdot{}(\overline{-10+15i})}{(-10+15i)\cdot{}(\overline{-10+15i})}=\frac{(-2-2\sqrt{3}i)\cdot{}\red{(-10}\blue{-}\red{15i)}}{(-10+15i)\cdot{}\red{(-10}\blue{-}\red{15i)}}=\ldots$
[/mm]
>
> Bitte mit Grund! Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 19.01.2012 | | Autor: | mbau16 |
Ermitteln Sie [mm]z_{3}![/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=-10+i15[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=-2-i(2\wurzel{3})[/mm]
> >
> > [mm]z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
> > Hallo habe eine Frage an Euch!
> >
> >
> > [mm]z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
> >
> >
> > [mm]z_{3}=\bruch{2-i(2\wurzel{3})}{-10+i15}[/mm]
> >
> > Allgemeine Formel lautet:
> >
> >
> [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i\bruch{b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}[/mm]
> >
> > BITTE NICHT DURCH DEN INDEX TÄUSCHEN LASSEN. DIES IST EINE
> > ALLGEMEINE FORMEL UND BEZIEHT SICH NICHT AUF DIESE
> > AUFGABE!
>
> Die allgemeine Formel ist recht sinnfrei, wenn du nicht
> vorher erklärst, was [mm]z_1, z_2[/mm] sind.
>
> Für [mm]z_1=\alpha+i\cdot{}\beta[/mm] und [mm]z_2=\mu+i\cdot{}\nu[/mm] kann
> ich die "allg. Formel" nicht nachvollziehen.
>
> >
> >
> [mm]=\bruch{(-2)(-10)-i^{2}(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}[/mm]
>
> Die Nenner sind falsch, wenn du [mm]z_2=a_2+i\cdot{}b_2[/mm] hast,
> so muss im Nenner
> [mm]a_2^2+b_2^2=(\operatorname{Re}(z_2))^2+(\operatorname{Im}(z_2))^2[/mm]
> stehen, das "i" hat da nix verloren.
>
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> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}[/mm]
> >
> > Was mache ich nun mit dem Nenner, wenn ich es weiter
> > zusammenfassen möchte?
> >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100-225}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100-225}[/mm]
> >
> > oder
> >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100+150i-150i-225i^{2})}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100+150i-150i-225i^{2})}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{325}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{325}[/mm]
>
> Merke dir auf KEINEN Fall eine solche allgemeine Formel.
>
> Wenn du einen Bruch mit komplexem Nenner hast, so kannst du
> den Nenner reell machen, indem du den Bruch mit dem komplex
> Konjugierten des Nenners erweiterst.
>
> Also
> [mm]\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot{}\red{\overline{z}_2}}{\underbrace{z_2\cdot{}\overline{z}_2}_{\in\IR}}=\frac{z_1\cdot{}\overline{z}_2}{(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2}[/mm]
Sorry, könnt Ihr bitte erklären, was die [mm] \overline{z_{2}} [/mm] bedeutet!
>
> Hier also
> [mm]\frac{z_2}{z_1}=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{-10+15i}=\frac{(-2-2\sqrt{3}i)\cdot{}(\overline{-10+15i})}{(-10+15i)\cdot{}(\overline{-10+15i})}=\frac{(-2-2\sqrt{3}i)\cdot{}\red{(-10}\blue{-}\red{15i)}}{(-10+15i)\cdot{}\red{(-10}\blue{-}\red{15i)}}=\ldots[/mm]
Wieso, denn mit -10-15i erweitern, statt -10+15i???
> >
> > Bitte mit Grund! Vielen Dank
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
> >
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Hallo mbau16,
> Ermitteln Sie [mm]z_{3}![/mm]
> > >
> > > [mm]z_{1}=-10+i15[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{2}=-2-i(2\wurzel{3})[/mm]
> > >
> > > [mm]z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
> > > Hallo habe eine Frage an Euch!
> > >
> > >
> > > [mm]z_{3}=\bruch{z_{2}}{z_{1}}[/mm]
> > >
> > >
> > > [mm]z_{3}=\bruch{2-i(2\wurzel{3})}{-10+i15}[/mm]
> > >
> > > Allgemeine Formel lautet:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}=\bruch{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i\bruch{b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}[/mm]
> > >
> > > BITTE NICHT DURCH DEN INDEX TÄUSCHEN LASSEN. DIES IST EINE
> > > ALLGEMEINE FORMEL UND BEZIEHT SICH NICHT AUF DIESE
> > > AUFGABE!
> >
> > Die allgemeine Formel ist recht sinnfrei, wenn du nicht
> > vorher erklärst, was [mm]z_1, z_2[/mm] sind.
> >
> > Für [mm]z_1=\alpha+i\cdot{}\beta[/mm] und [mm]z_2=\mu+i\cdot{}\nu[/mm] kann
> > ich die "allg. Formel" nicht nachvollziehen.
> >
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{(-2)(-10)-i^{2}(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}[/mm]
> >
> > Die Nenner sind falsch, wenn du [mm]z_2=a_2+i\cdot{}b_2[/mm] hast,
> > so muss im Nenner
> >
> [mm]a_2^2+b_2^2=(\operatorname{Re}(z_2))^2+(\operatorname{Im}(z_2))^2[/mm]
> > stehen, das "i" hat da nix verloren.
> >
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(-10)^{2}+(i15)^{2}}[/mm]
> > >
> > > Was mache ich nun mit dem Nenner, wenn ich es weiter
> > > zusammenfassen möchte?
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100-225}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100-225}[/mm]
> > >
> > > oder
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{(100+150i-150i-225i^{2})}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{(100+150i-150i-225i^{2})}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{20-(30\wurzel{3})}{325}+i\bruch{20\wurzel{3}+30}{325}[/mm]
> >
> > Merke dir auf KEINEN Fall eine solche allgemeine Formel.
> >
> > Wenn du einen Bruch mit komplexem Nenner hast, so kannst du
> > den Nenner reell machen, indem du den Bruch mit dem komplex
> > Konjugierten des Nenners erweiterst.
> >
> > Also
> >
> [mm]\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot{}\red{\overline{z}_2}}{\underbrace{z_2\cdot{}\overline{z}_2}_{\in\IR}}=\frac{z_1\cdot{}\overline{z}_2}{(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2}[/mm]
>
> Sorry, könnt Ihr bitte erklären, was die [mm]\overline{z_{2}}[/mm]
> bedeutet!
Das bedeutet das konjugiert komplexe von [mm]z_{2}[/mm]
Wenn [mm]z_{2}=a+b*i, \ a,b \in \IR[/mm],dann ist [mm]\overline{z_{2}}=a-bi[/mm]
> >
> > Hier also
> >
> [mm]\frac{z_2}{z_1}=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{-10+15i}=\frac{(-2-2\sqrt{3}i)\cdot{}(\overline{-10+15i})}{(-10+15i)\cdot{}(\overline{-10+15i})}=\frac{(-2-2\sqrt{3}i)\cdot{}\red{(-10}\blue{-}\red{15i)}}{(-10+15i)\cdot{}\red{(-10}\blue{-}\red{15i)}}=\ldots[/mm]
>
> Wieso, denn mit -10-15i erweitern, statt -10+15i???
Siehe oben.
> > >
> > > Bitte mit Grund! Vielen Dank
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > mbau16
> > >
> >
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 19.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Also ehrlich gesagt, sieht das ziemlich kompliziert (für mich :)) was du da machst.Wenn man komplexe Zahlen dividiert, dann multipliziert man einfach mit der konjugierten komplexen Zahl des Nenners :).
Naja um auf deine Frage zu kommen würde ich das zweite nehmen, weil du dich, glaube ich, irgendwo verrechnet hast (oder wir beide).
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