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Hi
Es geht um komplexe Zahlen. Brauche die komplexen Zahlen im Moment für Differentialgleichungen und Differenzengleichungen.
Mein Probelm ist folgendes:
wenn ich bei einer Differentialgleichung eine Lösung bestimmt habe, z.B.
y(x)= c*e^(2*i*x) ist diese Lösung ja jetzt als komplexe Lösung angegeben, jetzt weiss ich aber nicht wie ich dies umwandeln kann zu folgender Gestalt:
y(x)=c*cos(2*x) also damit die Lösung nicht mehr komplexwertig, sondern reellwertig wird.
ebenso bei y(x)=c*e^(-2*i*x) zu y(x)=c*sin(2*x)
und warum wird bei y(x)=b*e(i*x) folgende Lösung angegeben
y(x)=b*sin(x)
warum wird bei y(x)^=b*e^(-i*x) folgendes angegeben y(x)=b*cos(x)
Ich hab eigentlich alles zu dem Thema über komplexe Zahlen durchgelesen und auch Aufgaben dazu gemacht aber bei der Umwandlung hab ich Probleme.
denke mal es liegt an der Eulerschen Formel
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
und hier steht doch cos(x) für den Realteil und i*sin(x) für den Imaginärteil.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Besten Dank!
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo TrendyAndy!
Du hast also eine lineare Differentialgleichung mehrfacher Ordnung mit konstanten reellen Koeffizienten.
Dann musst du ja zunächst das charakteristische Polynom aufstellen. Dies ist ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Wir betrachten jetzt den Fall, dass dies eine echt komplexe Nullstelle [mm] $\lambda \in \IC \setminus \IR$ [/mm] hat. Man überlegt sich leicht, dass dann auch [mm] $\overline{\lambda}$ [/mm] eine Nullstelle dieses charakteristischen Polynoms ist.
Aus den komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms erhält man ein reelles Hauptsystem an Lösungen, indem man zu einer komplexen Nullstelle [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] + [mm] i\nu$ [/mm] von $k$-ter Ordnung die $k$ Lösungen
[mm] $e^{\lambda x}, xe^{\lambda x},\ldots, x^{k-1}e^{\lambda x}$ [/mm]
in Real-und Imaginärteil aufspaltet:
[mm] $x^q e^{\mu x} \cos(\nu [/mm] x)$ , [mm] $x^qe^{\mu x} \sin(\nu [/mm] x)$ [mm] $(q=0,1,\ldots,k-1)$.
[/mm]
Denn es gilt ja, wie bereits von dir vermutet,
[mm] $e^{\lambda x} [/mm] = [mm] e^{(\mu + i \nu)x} [/mm] = [mm] e^{\mu x} e^{i \nu x} [/mm] = [mm] e^{\mu x} \cdot (\cos(\nu [/mm] x) + i [mm] \sin(\nu [/mm] x))$.
> y(x)= c*e^(2*i*x) ist diese Lösung ja jetzt als komplexe
> Lösung angegeben, jetzt weiss ich aber nicht wie ich dies
> umwandeln kann zu folgender Gestalt:
> y(x)=c*cos(2*x) also damit die Lösung nicht mehr
> komplexwertig, sondern reellwertig wird.
Hier erhältst du als reelles Hauptsystem entsprechend:
$c [mm] \cdot \cos(2x)$ [/mm] und $c [mm] \cdot \sin(2x)$.
[/mm]
> ebenso bei y(x)=c*e^(-2*i*x) zu y(x)=c*sin(2*x)
> und warum wird bei y(x)=b*e(i*x) folgende Lösung angegeben
> y(x)=b*sin(x)
> warum wird bei y(x)^=b*e^(-i*x) folgendes angegeben
> y(x)=b*cos(x)
Es macht keinen Sinn dem einen das eine und dem anderen das andere zuzuordnen. Es geht einfach so:
Dem komplexen Hauptsystem
$b [mm] \cdot e^{ix}$ [/mm] und $b [mm] \cdot e^{-ix}$
[/mm]
entspricht das reelle Hauptsystem
$b [mm] \cdot \cos(x)$ [/mm] und $b [mm] \cdot \sin(x)$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Sa 20.08.2005 | | Autor: | TrendyAndy |
Vielen Dank hab es verstanden.
Ciao Andy
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