Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 14.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie [mm] z_{6}!
[/mm]
[mm] z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] z_{2}=2+i\wurzel{3}
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)} [/mm] |
Guten Abend,
folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}
[/mm]
Rechne nun erstmal [mm] \bruch{z_{2}}{z_{1}}.
[/mm]
[mm] \bruch{2+i\wurzel{3}}{-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}*\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}=\bruch{\wurzel{3}+i+\bruch{3}{2}i+\bruch{\wurzel{3}}{2}i^{2}}{-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}i^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{3\wurzel{3}}{2}+\bruch{5}{2}i}{-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i+1+\wurzel{3}i+2i}
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i+\bruch{2}{2}+\bruch{2\wurzel{3}}{2}i+\bruch{4}{2}i}
[/mm]
Bevor ich weitermache, ist es bis hierher korrekt?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
|
|
| |
|
Hallo mbau16,
> Ermitteln Sie [mm]z_{6}![/mm]
>
> [mm]z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2+i\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}[/mm]
> Guten Abend,
>
> folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}[/mm]
>
> Rechne nun erstmal [mm]\bruch{z_{2}}{z_{1}}.[/mm]
>
> [mm]\bruch{2+i\wurzel{3}}{-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}*\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}=\bruch{\wurzel{3}+i+\bruch{3}{2}i+\bruch{\wurzel{3}}{2}i^{2}}{-\bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}i^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{3\wurzel{3}}{2}+\bruch{5}{2}i}{-1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\blue{-}\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i[/mm]
> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i+1+\wurzel{3}i+2i}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{5}{2}i+\bruch{2}{2}+\bruch{2\wurzel{3}}{2}i+\bruch{4}{2}i}[/mm]
>
> Bevor ich weitermache, ist es bis hierher korrekt?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Do 15.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie [mm] z_{6}
[/mm]
[mm] z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] z_{2}=2+i2\wurzel{3}
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{1}}{z_{2}}+1+i(\wurzel{3}+2)} [/mm] |
Guten Morgen,
nachdem ich gemerkt habe, dass ich [mm] z_{2} [/mm] falsch berechnet habe, hier der neue Ansatz.
[mm] z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{1}}{z_{2}}+1+i(\wurzel{3}+2)}
[/mm]
[mm] \bruch{z_{2}}{z_{1}}=\bruch{2+i2\wurzel{3}}{-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}*\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}=\bruch{\wurzel{3}+i+3i+\wurzel{3}i^{2}}{-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{2}}=-4i
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{-4i+1+\wurzel{3}i+2i}
[/mm]
[mm] z_{6}=\wurzel{1+i(\wurzel{3}-2)}
[/mm]
[mm] z_{6}=(1+i(\wurzel{3}-2))^\bruch{1}{2}
[/mm]
So jetzt nochmal, was sagt Ihr dazu? Ist es bis hier erstmal richtig? Mein Problem ist, dass ich ja noch weitermachen muss. Habe in der Klausur kein Taschenrechner zur Verfügung. Muss jetzt ja über die trigonometrische Form in die eulersche Form kommen, da k=0 und k=1! Muss ein Fehler drin sein, kann man geschickt kürzen?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
|
|
|
| |
|
Hallo mbau16,
was um alles in der Welt rechnest du da? 
Prüfe deine Quotienten [mm] z_2/z_1 [/mm] nochmal. Da sollte
[mm] \bruch{z_2}{z_1}=-\bruch{i}{2}
[/mm]
herauskommen - und damit wird die Sache sehr einfach.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:28 Do 15.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo mbau16,
>
> was um alles in der Welt rechnest du da?
>
> Prüfe deine Quotienten [mm]z_2/z_1[/mm] nochmal. Da sollte
>
> [mm]\bruch{z_2}{z_1}=-\bruch{i}{2}[/mm]
>
> herauskommen - und damit wird die Sache sehr einfach.
Wo mache ich den Fehler, was mache ich falsch? Ich konjugiere komplex, ist doch richtig, oder?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 15.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mbau!
Bitte formuliere mal zunächst sauber, ordentlich und korrekt die Aufgabenstellung, bevor wir hier weiter verhandeln.
Sowohl bei [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] verändern sich zwischenzeitlich die Werte. Und mal heißt [mm] $\bruch{z_1}{z_2}$ [/mm] und mal [mm] $\bruch{z_2}{z_1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 15.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo nochmal,
so hier jetzt der neuste Stand der Dinge! Müssten alle Unklarheiten behoben sein.
> Ermitteln Sie [mm]z_{6}[/mm]
>
> [mm]z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]z_{2}=2+i2\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}[/mm]
> Guten Morgen,
>
> nachdem ich gemerkt habe, dass ich [mm]z_{2}[/mm] falsch berechnet
> habe, hier der neue Ansatz.
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{z_{2}}{z_{1}}=\bruch{2+i2\wurzel{3}}{-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}*\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}=\bruch{\wurzel{3}+i+3i+\wurzel{3}i^{2}}{-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{2}}=-4i[/mm]
Diophant sagte ich hätte schon [mm] \bruch{z_{2}}{z_{1}} [/mm] falsch berechnet. Aber was genau mache ich falsch?
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{-4i+1+\wurzel{3}i+2i}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=\wurzel{1+i(\wurzel{3}-2)}[/mm]
>
> [mm]z_{6}=(1+i(\wurzel{3}-2))^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> So jetzt nochmal, was sagt Ihr dazu? Ist es bis hier
> erstmal richtig? Mein Problem ist, dass ich ja noch
> weitermachen muss. Habe in der Klausur kein Taschenrechner
> zur Verfügung. Muss jetzt ja über die trigonometrische
> Form in die eulersche Form kommen, da k=0 und k=1! Muss ein
> Fehler drin sein, kann man geschickt kürzen?
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 15.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mbau!
> [mm]\bruch{z_{2}}{z_{1}}=\bruch{2+i2\wurzel{3}}{-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}*\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}=\bruch{\wurzel{3}+i+3i+\wurzel{3}i^{2}}{-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{2}}=-4i[/mm]
Das stimmt bis hierhin! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 15.03.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo!
> Hallo nochmal,
>
> so hier jetzt der neuste Stand der Dinge! Müssten alle
> Unklarheiten behoben sein.
>
>
> > Ermitteln Sie [mm]z_{6}[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]z_{2}=2+i2\wurzel{3}[/mm]
> >
> > [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}[/mm]
> > Guten Morgen,
> >
> > nachdem ich gemerkt habe, dass ich [mm]z_{2}[/mm] falsch berechnet
> > habe, hier der neue Ansatz.
> >
> > [mm]z_{6}=\wurzel{\bruch{z_{2}}{z_{1}}+1+i(\wurzel{3}+2)}[/mm]
> >
> >
> [mm]\bruch{z_{2}}{z_{1}}=\bruch{2+i2\wurzel{3}}{-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}*\bruch{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}+i\bruch{1}{2}}=\bruch{\wurzel{3}+i+3i+\wurzel{3}i^{2}}{-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{2}}=-4i[/mm]
So, bis hier sollte es jetzt doch richtig sein. Ich bin verwirrt. Und wie sieht es mit dem Rest aus und dem Problem, dass ich hier unten beschrieben habe?
>
> > [mm]z_{6}=\wurzel{-4i+1+\wurzel{3}i+2i}[/mm]
> >
> > [mm]z_{6}=\wurzel{1+i(\wurzel{3}-2)}[/mm]
> >
> > [mm]z_{6}=(1+i(\wurzel{3}-2))^\bruch{1}{2}[/mm]
Ist das auch okay? Hier muss irgendwo ein ganz dicker Fehler sein.
Wie komme ich jetzt an R für die eulersche Form?
Die Formel ist klar! Ohne Taschenrechner? Das ist eine Klausuraufgabe. Die muss ohne TR lösbar sein.
[mm] R=\wurzel{1^2+(\wurzel{3}-2)^{2}}
[/mm]
Das kann ja nicht sein!
Wisst Ihr einen Rat?
> > Vielen Dank
> >
> > Gruß
> >
> > mbau16
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Do 15.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] z_{6}=\wurzel{1+i(\wurzel{3}-2)} [/mm]
ist ok.
Benutze nun:
[mm]\sqrt{z}=\sqrt{x+iy}= \sqrt\tfrac{|z|+x}{2}} + i\operatorname{sign}(y) \cdot\sqrt\tfrac{|z|-x}{2} [/mm]
Also hier:
[mm]\sqrt{z_{6}}=\sqrt{1+i(\wurzel{3}-2)}=\sqrt\tfrac{|1+((\wurzel{3}-2)^{2}|+1}{2}}-i\cdot\sqrt\tfrac{1+((\wurzel{3}-2)^{2}|-1}{2} [/mm]
Damit bist du das i unter der Wurzel los.
Marius
|
|
|
|
