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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Fr 13.04.2012 | | Autor: | herbi_m |
| Aufgabe 1 | | Wandle die komplexe Zahl z = 1/ [mm] [cos(\pi/6) [/mm] - [mm] isin(\pi/6)] [/mm] in die kartesische Form z= x + yi um. |
| Aufgabe 2 | [mm] z^3= [/mm] -2+2i
Berechne z unter Verwendung der Exponentialdarstellung komplexer Zahlen. |
Hallo zusammen!
Bei diesen beiden Aufgaben komme ich leider nicht weiter.
Bei Aufgabe 1 irritiert mich, dass die trigonometrische Form im Nenner steht und kein Betrag angegeben ist. Sonst könnte ich ja die Form z= r cos (a) + irsin (a) einfach umwandeln, da r cos (a) in der Kartesischen Form x entspricht und irsin (a) iy entspricht.
Nur weiß ich jetzt halt nicht, wie ich dieses Gesetz auf die obige Aufgabe anwenden kann. Es wäre scön, wenn mir jemand helfen könnte.
Bei Aufgabe zwei weiß ich leider auch überhaupt nicht, wie ich vorzugehen habe.
Die Eulersche Formel lautet ja e^ia = cos (a) + isin (a)
Aber weiter komme ich leider nicht!
Vielen Dank schon einmal!
herbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Fr 13.04.2012 | | Autor: | anon |
setze
$$c:= -2+2i $$
berechne: betrag von c, Polarform von c.
Dann Wurzel von c ziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 13.04.2012 | | Autor: | anon |
[mm] $$\frac{1}{a-bi} [/mm] = [mm] \frac{(a+bi)}{(a-bi)(a+bi)} [/mm] = [mm] \frac{a+bi}{a^{2}+b^{2}} [/mm] = [mm] \frac{a}{a^{2}+b^{2}} [/mm] + [mm] \frac{b}{a^{2}+b^{2}}i [/mm] = x+iy$$
mit $x:= [mm] \frac{a}{a^{2}+b^{2}}$ [/mm] , $y:= [mm] \frac{b}{a^{2}+b^{2}}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 13.04.2012 | | Autor: | herbi_m |
Vielen Dank. Ich denke mit dem Tipp zu Aufgabe 1 komme ich weiter...
Bei Aufgabe 2 habe ich als Betrag von c Wurzel aus 8 herausbekommen!
Als Argument jedoch -45 Grad!
Kann das Überhaupt stimmen?!
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> Vielen Dank. Ich denke mit dem Tipp zu Aufgabe 1 komme ich
> weiter...
>
> Bei Aufgabe 2 habe ich als Betrag von c Wurzel aus 8
> herausbekommen!
> Als Argument jedoch -45 Grad!
>
> Kann das Überhaupt stimmen?!
Mit c meinst du offenbar die Zahl [mm] z^3=-2+2i
[/mm]
Der Betrag [mm] |c|=\sqrt{8}=2\sqrt{2} [/mm] stimmt, der Winkel -45° aber nicht.
In einer einfachen Skizze sieht man, dass der Winkel
stattdessen 135° betragen muss.
Um dies rechnerisch (ohne hinzusehen) ebenfalls richtig
hinzukriegen, solltest du dir vielleicht mal die
![[]](/images/popup.gif) ATAN2 - Funktion zu Gemüte führen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Fr 13.04.2012 | | Autor: | herbi_m |
Dann erhalte ich jetzt
c= [mm] \wurzel{8} [/mm] [cos (135) + isin (135)], für c= [mm] z^3
[/mm]
Um jetzt z zu erhalten, muss ich dann "nur noch" aus meinem Ergebnis die dritte Wurzel ziehen?
oder gehe ich besser über die Formel c= [mm] \wurzel{8} [/mm] e^i135 und ziehe dann daraus die dritte Wurzel, um z zu erhalten?!
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Hallo herbi_m,
> Dann erhalte ich jetzt
> c= [mm]\wurzel{8}[/mm] [cos (135) + isin (135)], für c= [mm]z^3[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Um jetzt z zu erhalten, muss ich dann "nur noch" aus meinem
> Ergebnis die dritte Wurzel ziehen?
>
Ja.
> oder gehe ich besser über die Formel c= [mm]\wurzel{8}[/mm] e^i135
> und ziehe dann daraus die dritte Wurzel, um z zu erhalten?!
Das ist besser.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 13.04.2012 | | Autor: | herbi_m |
Ich bin deinen Lösungsweg für Aufgabe 1 gerade einmal durchgegangen!
Ist es richtig, dass ich dann für z cos [mm] (\pi/6) [/mm] + isin [mm] (\pi/6) [/mm] erhalte, da ja aufgrund des trigonometrischen Pythagoras der Nenner (also bei dir [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2) [/mm] "1" ergibt?!
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> Ist es richtig, dass ich dann für z cos [mm](\pi/6)[/mm] + isin
> [mm](\pi/6)[/mm] erhalte, da ja aufgrund des trigonometrischen
> Pythagoras der Nenner (also bei dir [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2)[/mm] "1" ergibt?!
Das stimmt.
Die Rechnung ginge aber auch deutlich einfacher, wenn man
gleich zu Anfang bemerkt, dass
$\ z\ =\ [mm] \frac{1}{cos(\pi/6)\ -\ i*sin(\pi/6)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{e^{-i*\frac{\pi}{6}}}\ [/mm] =\ [mm] e^{i*\frac{\pi}{6}}\ [/mm] =\ [mm] cos(\pi/6)\ [/mm] +\ [mm] i*sin(\pi/6)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Fr 13.04.2012 | | Autor: | herbi_m |
Jo, das ist ist ja super. Jetzt wo du's sagst's seh ich das auch! Das war ja eigentlich gar nicht schwierig! Danke!
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