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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Aufgabenkontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Fr 23.09.2005
Autor: lazo

Hallo,

habe versucht folgende Aufgabe zu lösen, würde mich freuen, wenn mal jemand kontrollieren könnte, ob es richtig gelöst ist..



Aufgabe:

Berechnen Sie (i = imaginäre Einheit)

[mm] (1+i)^{5} [/mm]

Stellen Sie das Ergebnis sowohl in der kartesischen als auch in der Exponentiladarstellung dar.

Habe zunächst r bestimmt r = [mm] \wurzel{2} [/mm]

und dann phi  phi = 45°

dann habe ich die Werte in folgende Formel eingestzt und ausgerechnet:



[mm] r^{n} [/mm] * ((cos (phi * n) + sin (phi * n) * i))

Meine Lösung : -4,00162 - 4,00162i

Sieht mir irgendwie komisch aus, könnte das vielleicht mal jemand nachrechnen, danke.

        
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Fr 23.09.2005
Autor: SEcki


> Meine Lösung : -4,00162 - 4,00162i

Das ist nicht exakt richtig - rundungsfehler wg. Taschenrechner?

> Sieht mir irgendwie komisch aus, könnte das vielleicht mal
> jemand nachrechnen, danke.

Ohne deinen Rechenweg ist es schwer nachzurechnen, was du flasch gemacht hast.

SEcki

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Fr 23.09.2005
Autor: lazo

ok versuche es etwas ausführlicher..

a=1 , b =1

in Formel r= [mm] \wurzel{ a^{2} + b^{2}} [/mm] eingesetzt
r =  [mm] \wurzel{2} [/mm]

a und b weiter in Formel phi = arctan ( [mm] \bruch{b}{a}) [/mm] eingestzt
phi = 45°


r und phi in oben genannte Formel eingesetzt:

[mm] \wurzel{2}^{5} [/mm] * (( cos (45 * 5) + sin (45 * 5) * i)

[mm] \wurzel{2}^{5} [/mm] * (( cos (225) + sin (225) * i)

ohne sehe es gerade, ja hatte gerundet..

ohne runden komme ich nämlich auf folgendes Ergebnis:

-4 - 4i

so richtig?






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Komplexe Zahlen: So stimmt's ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Fr 23.09.2005
Autor: Loddar

Hallo lazo!


> -4 - 4i

[daumenhoch] So stimmt es jetzt ...


Gruß
Loddar


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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Sa 24.09.2005
Autor: lazo

danke..

stimmt denn auch die Exponentialform?

z = 5,66 * [mm] e^{i45} [/mm]

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Komplexe Zahlen: Bogenmaß
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Sa 24.09.2005
Autor: Loddar

Hallo lazo!


> stimmt denn auch die Exponentialform?
>  
> z = 5,66 * [mm]e^{i45}[/mm]  

Was soll das jetzt sein?  [mm] $z^5$ [/mm] ??


Zum einen musst Du dann auch den Winkel [mm] $\alpha' [/mm] \ = \ [mm] n*\alpha [/mm] \ = \ 5*45° \ = \ 225°$ einsetzen.

Zum anderen musst Du diesen Winkel für die Exponentialform in das Bogenmaß umrechnen!


Gruß
Loddar


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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Sa 24.09.2005
Autor: lazo

nunja, die Aufgabenstellung lautete ja Lösung in kartesischer Form und Exponentialform angeben.

Die kartesische war ja -4 -4i

und ich dachte von der kartesischen in die Exponentialform kann man es umrechnen mit den Formeln

r =  [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2} } [/mm]

und

phi = arctan ( [mm] \bruch{b}{a}) [/mm]

und mit a = -4  und b = -4
kam ich auf das Ergebnis oben..

ok, den Winkel von 45° kann ich ja ins Bogenmaß umrechnen, dann hätte ich folgendes Ergebnis

5,66 *  [mm] e^{i 0,76} [/mm]



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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Sa 24.09.2005
Autor: SEcki


> 5,66 *  [mm]e^{i 0,76}[/mm]

Du sollst das exakt ausrechnen - keine Kommas einfach so. Das kannst du jetzt aber ganz alleine, das Vorgehen ist prinzipiell richtig.

SEcki

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Sa 24.09.2005
Autor: lazo

Ohne Komma?




[mm] \wurzel{32} [/mm] +  [mm] e^{i \bruch{45°}{180°}* \pi} [/mm]

bzw.

[mm] \wurzel{32} [/mm] +  [mm] e^{i \bruch{1}{4}* \pi} [/mm]


so, oder wie?

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Komplexe Zahlen: Prinzipiell richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Sa 24.09.2005
Autor: Loddar

Hallo lazo!


So ist es prinzipiell richtig.


Aber ...

Wenn das $z \ = \ 1+i$ sein soll, ist $r \  =\ [mm] \wurzel{2}$ [/mm] .


Oder ist das [mm] $z^5 [/mm] \ = \ [mm] (1+i)^5$ [/mm] ? Dann musst Du natürlich auch [mm] $\alpha' [/mm] \ = \ 225°$ einsetzen.

Auch kann mann bzw. sollte man [mm] $\wurzel{32}$ [/mm] noch etwas vereinfachen durch teilweises Wurzelziehen:

[mm] $\wurzel{32} [/mm] \  = \ [mm] \wurzel{16*2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{16}*\wurzel{2} [/mm] \ = \ ...$


Gruß
Loddar


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