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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Do 03.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | z= [mm] -\wurzel{3} [/mm] - i
in Polarkoordinatendarstellung angeben dazu z^19 |
Die Darstellung ist ja z= r * (cos(psy) + i * sin(psy)) ist... und für
Betrag von z = 2
Doch wie bekomme ich nun den Winkel raus
ist doch eigentlich tang psy = y/x
tang psy = -1/ [mm] -\wurzel{3} [/mm]
kann ja aber eigentlich nicht stimmen...
Meine 2.Frage ist wenn ich in Polarkordinaten mein z potenziere dann nehm ich ja den Betrag auch în der Potenz..was passiert mit den Winkeln.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Do 03.12.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> z= [mm]-\wurzel{3}[/mm] - i
> in Polarkoordinatendarstellung angeben dazu z^19
> Die Darstellung ist ja z= r * (cos(psy) + i * sin(psy))
> ist... und für
>
> Betrag von z = 2
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") korrekt
> Doch wie bekomme ich nun den Winkel raus
>
> ist doch eigentlich tang psy = y/x
> tang psy = -1/ [mm]-\wurzel{3}[/mm]
> kann ja aber eigentlich nicht stimmen...
du musst dir noch überlegen, in welchem Quadranten sich dein Zeiger befindet und entsprechend mit dem Wert [mm] \pi [/mm] anpassen.
> Meine 2.Frage ist wenn ich in Polarkordinaten mein z
> potenziere dann nehm ich ja den Betrag auch în der
> Potenz..was passiert mit den Winkeln.
[mm] z^n=r^n*[\cos(n*\varphi))+i*\sin(n*\varphi)]=r^n*e^{i*n*\varphi}
[/mm]
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 03.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Im 3.Quadranten...denk ich
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Hallo zocca21,
> Im 3.Quadranten...denk ich
So isses.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 05.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Okay und wie hilft mir das nun meinen Winkel bei z^19 zu finden..
Danke ;)
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> Okay und wie hilft mir das nun meinen Winkel bei z^19 zu
> finden..
Hallo,
Du hast also inzwischen z= $ [mm] -\wurzel{3} [/mm] $ - i in der darstellung [mm] z=r(cos\varphi +isin\varphi) [/mm] bzw. [mm] z=re^{i\varphi} [/mm] aufgeschrieben?
Herby hat Dir doch gesagt, daß
$ [mm] z^n=r^n\cdot{}[\cos(n\cdot{}\varphi))+i\cdot{}\sin(n\cdot{}\varphi)]=r^n\cdot{}e^{i\cdot{}n\cdot{}\varphi} [/mm] $.
Das mußt Du nun für n=19 berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 06.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
z= - [mm] \wurzel{3} [/mm] - i
Ist in Polardarstellung
z = 2 * cos(7/6 [mm] \pi) [/mm] + i * sin(7/6 pi)
Ich weiß zwar immer noch nicht genau wie ich von dem tang psy = -1 / [mm] \wurzel{3} [/mm] auf die 7/6 [mm] \pi...aber [/mm] rein von ver anschaulichkeit her müsste er bei 210 Grad also 7/6 [mm] \pi [/mm] liegen.
z^19= 2^19 * [mm] cos(19*(7/6)\pi) [/mm] + i * [mm] sin(19*(7/6)\pi) [/mm] ??
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Hallo zocca21,
> z= - [mm]\wurzel{3}[/mm] - i
>
> Ist in Polardarstellung
>
> z = 2 * cos(7/6 [mm]\pi)[/mm] + i * sin(7/6 pi)
>
> Ich weiß zwar immer noch nicht genau wie ich von dem tang
> psy = -1 / [mm]\wurzel{3}[/mm] auf die 7/6 [mm]\pi...aber[/mm] rein von ver
> anschaulichkeit her müsste er bei 210 Grad also 7/6 [mm]\pi[/mm]
> liegen.
Sinus und Cosinus sind im 3. Quadranten negativ.
Demnach muß der Winkel zwischen [mm]\pi[/mm] und [mm]\bruch{3*\pi}{2}[/mm] liegen.
Der Tangens ist zunächst [mm]\pi[/mm]-periodisch.
Da mit der Formel
[mm]\tan\left(\psy\right)=\bruch{-1}{-\wurzel{3}}[/mm]
ein Winkel im 1. Quadranten erzielt wird,
ist hier [mm]\pi[/mm] zu addieren,
damit der Winkel im 3. Quadranten liegt.
>
> z^19= 2^19 * [mm]cos(19*(7/6)\pi)[/mm] + i * [mm]sin(19*(7/6)\pi)[/mm] ??
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Den Winkel [mm]19*\bruch{7}{6}*\pi[/mm] kannst Du nun noch
als Winkel im Bereich zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm] angeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 06.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
>Sinus und Cosinus sind im 3. Quadranten negativ.
>Demnach muß der Winkel zwischen $ [mm] \pi [/mm] $ und $ [mm] \bruch{3\cdot{}\pi}{2} [/mm] $ liegen.
>
>Der Tangens ist zunächst -periodisch.
>Da mit der Formel
>$ [mm] \tan\left(\psy\right)=\bruch{-1}{-\wurzel{3}} [/mm] $
>ein Winkel im 1. Quadranten erzielt wird,
>ist hier zu addieren,
>damit der Winkel im 3. Quadranten liegt.
Ja aber der Winkel wäre ja schon im 1.Quadranten
tang psy = [mm] \wurzel{3} [/mm] / 3
Wie komm ich darauf von meiner Formel?
Das mit der Potenz hab ich nun verstanden vielen Dank!!
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Hallo zocca21,
> >Sinus und Cosinus sind im 3. Quadranten negativ.
> >Demnach muß der Winkel zwischen [mm]\pi[/mm] und
> [mm]\bruch{3\cdot{}\pi}{2}[/mm] liegen.
> >
> >Der Tangens ist zunächst -periodisch.
>
> >Da mit der Formel
>
> >[mm] \tan\left(\psy\right)=\bruch{-1}{-\wurzel{3}}[/mm]
>
> >ein Winkel im 1. Quadranten erzielt wird,
> >ist hier zu addieren,
> >damit der Winkel im 3. Quadranten liegt.
>
> Ja aber der Winkel wäre ja schon im 1.Quadranten
>
> tang psy = [mm]\wurzel{3}[/mm] / 3
>
> Wie komm ich darauf von meiner Formel?
[mm]\bruch{-1}{-\wurzel{3}}=\bruch{1}{\wurzel{3}}=\bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{3}}=\bruch{\wurzel{3}}{3}[/mm]
>
> Das mit der Potenz hab ich nun verstanden vielen Dank!!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 So 06.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
nur ein kleiner zusatz von meiner seite:
es ist natuerlich moeglich den einer komplexen zahl zugehoerigen winkel mittel tangens zu berechnen, er ist auch anhand des real und imaginaerteils eindeutig zu bestimmen, allerdings machst du es dir einfach, wenn du dir einfach folgende drei fallunterscheidungen merkst, mit deren hilfe du den winkel einfach berechnen kannst:
nimm an du hast eine komplexe zahl in standart-form, also :
$ z=x+i*y $
Um den zugehoerigen winkel zu bestimmen brauchst du zuerst den Betrag der komplexen Zahl, also $ [mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ Ich nenne diese Zahl im folgenden "r" (fuer radius) . Nun ergeben sich fuer den Winkel [mm] \theta [/mm] folgende beziehungen:
[mm] sin(\theta)=\bruch{y}{r} [/mm] und [mm] cos(\theta)=\bruch{x}{r} [/mm] . Um den Winkel nun eindeutig zu bestimmen kannst du dir nun drei Faelle merken:
[mm] \theta=arg(z)=\begin{cases} arccos\left(\bruch{x}{r}\right), & \mbox{für } y\ge0 \\ -arccos\left(\bruch{x}{r}\right), & \mbox{für } y<0 \\ \mbox{unbestimmt}, & \mbox{fuer } r=0\end{cases}
[/mm]
Das nur als kleine Hilfe,
lg.
Ist auch bei wikipedia unter "komplexe zahl" nachzulesen.
schoenen abend!
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