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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mi 06.07.2005 | | Autor: | scratchy |
Hallo,
ich habe in einem alten Lehrbuch eine mir nicht klare Beispielrechnung für das radizieren von komplexen Zahlen in der Exponentialform gefunden.
Die Aufgabe lautet (druckwörtlich):
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Für z=-16 ist [mm] \wurzel{z} [/mm] zu berechnen.
Lösung: z=-16= [mm] 16e^{i180^ {\circ}}
[/mm]
...
---
Wie kommen die darauf?
Die Expotentialform lautet ja z = [mm] re^{i \alpha}
[/mm]
und das wäre in der goniometrischen Form z = r ( cos [mm] \alpha [/mm] + i sin [mm] \alpha [/mm] )
Um auf deren [mm] \alpha= [/mm] 180 (Grad) zu kommen könnte man rechnen tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{a}. [/mm] (a und b aus der arithmetischen Form z = a + bi)
Da habe ich aber weder a noch b gegeben.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
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Hallo Scratchy!
Du kannst doch schreiben: $z \ = \ -16 \ = \ [mm] \underbrace{-16}_{= \ a} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{0}_{= \ b}* [/mm] \ i$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mi 06.07.2005 | | Autor: | scratchy |
> Hallo Scratchy!
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> Du kannst doch schreiben: [mm]z \ = \ -16 \ = \ \underbrace{-16}_{= \ a} \ + \ \underbrace{0}_{= \ b}* \ i[/mm]
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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Natürlich! Manchmal habe ich wirklich Tomaten auf den Augen 
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mi 06.07.2005 | | Autor: | scratchy |
Da das so schön zum Thema passt, möchte ich gleich noch eine Frage hinterdran hängen.
Und zwar ist mir nicht ganz klar, warum beim radizieren mehrere Werte entstehen.
Im Buch ist das so erklärt:
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Wenn [mm] \alpha [/mm] durch [mm] \alpha [/mm] + k * 360(Grad) (k [mm] \varepsilon [/mm] Z) ersetzt wird, ist [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{360}{n} [/mm] . Da [mm] \bruch{360}{n} [/mm] ein Bruchteil der Periode ist, ergeben sich für k = 0,1,...,n-1 insgesamt n verschiedene Argumente und damit n verschiedene Wurzelwerte.
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Das gilt [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + k * 360(Grad) (k [mm] \varepsilon [/mm] Z) ist mir klar weil die Winkelfkt periodisch sind. Das mit den durch n ist mir wegen den Potenz/Wurzelgesetze klar.
Aber mit dem 2. Satz kann ich nichts anfangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Max |
Hallo scratchy,
Es ist ja $z=r [mm] \cdot e^{i \alpha}$ [/mm] und gesucht ist die $n$-te Wurzel von $z$, d.h. alle Zahl $w$ mit [mm] $w^n=z$. [/mm] $w$ hat auch eine Darstellung in Polarkoordinaten, es sei $w=q [mm] \cdot e^{i \gamma}$. [/mm] Wegen [mm] $w^n=z$ [/mm] gilt:
[mm] \begin{matrix} w^n=z\\
\left(q\cdot e^{i\gamma}\right)^n=r \cdot e^{i\alpha}\\
q^n\cdot e^{i n \gamma} = r\cdot e^{i\alpha}\\
\end{matrix}
[/mm]
Damit muss gelten [mm] $q^n=r \gdw q=\sqrt[n]{r}$ [/mm] und [mm] $e^{i n \gamma}=e^{i \alpha}$. [/mm] Wegen der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion reicht es aber, wenn die beiden Argumente bis auf eine Phasenverschiebung von [mm] $2\pi [/mm] i [mm] \cdot [/mm] k$ gleich sind, d.h. aber $ i n [mm] \gamma=i \alpha [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \cdot [/mm] k$. Also ist [mm] $\gamma=\frac{\alpha}{n}+ \frac{2 \pi i \cdot k}{n}$.
[/mm]
Das $k$ in der Bestimmungsgleichung ist jetzt noch ein Problem. Man muss jetzt noch entscheiden, ob für alle [mm] $\gamma_k$ [/mm] die Zahlen [mm] $e^{i\gamma_k}$ [/mm] unterschiedlich sind oder ob es wegen der Periodizität nur bestimmte Lösungen gibt - und wenn ja wie viele verschieden Lösungen möglich sind.
Für $k=0; 1; 2; [mm] \cdots; [/mm] n-1$ ist [mm] $\frac{2\pi i \cdot k}{n}<2\pi [/mm] i$, damit muss es auf jeden Fall $n$ verschiedene Lösungen geben, da der Unterschied der Argumente ja nicht [mm] $2\pi [/mm] i$ beträgt. Für [mm] $k\ge [/mm] n$ (bzw. $k<0$) kommen keine weitere Lösungen hinzu, da man dort immer die Periode [mm] $2\pi [/mm] i$ der Exponentialfunktion ausnutzen kann.
Ich hoffe das macht es nochmal deutlich, sonst frag nochmal genauer was dein Problem ist.
Gruß Max
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Hi, scratchy,
> Für z=-16 ist [mm]\wurzel{z}[/mm] zu berechnen.
> Lösung: z=-16= [mm]16e^{i180^ {\circ}}[/mm]
> ...
> ---
> Wie kommen die darauf?
> Die Expotentialform lautet ja z = [mm]re^{i \alpha}[/mm]
> und das
> wäre in der goniometrischen Form z = r ( cos [mm]\alpha[/mm] + i sin
> [mm]\alpha[/mm] )
Zunächst mal muss doch wohl r [mm] \ge [/mm] 0 sein!
Daher: r=+16
> Um auf deren [mm]\alpha=[/mm] 180 (Grad) zu kommen könnte man
> rechnen tan [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}.[/mm] (a und b aus der
> arithmetischen Form z = a + bi)
> Da habe ich aber weder a noch b gegeben.
a und b (siehe Roadrunners Tipp) sind -16 bzw. 0.
Daher: [mm] tan(\alpha) [/mm] = 0
Daraus: [mm] \alpha [/mm] = [mm] k*\pi [/mm] (k [mm] \in\IZ) [/mm] bzw. k*180°
Für k=0 wäre auch [mm] \alpha [/mm] = 0° und somit
z=16*(cos(0°)+i*sin(0°)) = 16. (falsch)
Für k=1 ist [mm] \alpha=180° [/mm] und somit:
z=16*(cos(180°)+i*sin(180°)) = 16*(-1) = -16. (RICHTIG!)
Daher ist [mm] \alpha=180° [/mm] eine mögliche Lösung!
[mm] (\alpha [/mm] = -180° übrigens auch!)
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