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Komplexe Zahlen (Trig. Darst.): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Di 01.02.2005
Autor: SBDevil

Hallo!
Ich hab mal wieder eine frage!
Und zwar versuche ich die komplexe Zahl z = -5 -j5 in der trigonometrischen Darstellung umzuwandeln.
Das problem liegt dabei beim [mm] \varphi [/mm] .

z=-5-j5
z=r*( cos [mm] \varphi [/mm] + sin [mm] \varphi [/mm] )
r= [mm] \wurzel{50} [/mm] = 5* [mm] \wurzel{2} [/mm]

cos [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{-5}{5* \wurzel{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
sin [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{-5}{5* \wurzel{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]

Und weiter komme ich nicht! Aus der Lösung weiß ich das
[mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{4} [/mm] ist. Aber wie komme ich dadrauf? Wir dürfen allerdings keinen Taschenrechner benutzen! Wie komme ich also ohne Taschenrechner auf 135?

mfg SBDevil

        
Bezug
Komplexe Zahlen (Trig. Darst.): Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Di 01.02.2005
Autor: MathePower

Hallo,

der Winkel [mm]\varphi \; = \;\frac{{3\pi }}{4}[/mm], kann nicht stimmen, da der Sinus hier positiv ist. Oder es hat der Fehlerteufel zugeschlagen.

Es gilt:

[mm]\begin{gathered} \cos (\varphi )\; < \;0\; \Leftrightarrow \;\varphi \; \in \;\left] {\frac{\pi } {2},\;\frac{{3\pi }} {2}} \right[ \hfill \\ \sin (\varphi )\; < \;0\; \Leftrightarrow \;\varphi \; \in \;\left] {\pi ,\;2\pi } \right[ \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Da [mm]cos(\varphi)<0[/mm] und [mm]sin(\varphi)<0[/mm] gilt:

[mm]\varphi \; \in \;\left] {\pi ,\;\frac{{3\pi }}{2}} \right[[/mm]

Gesucht ist also der Winkel, an dem der Sinus und der Cosinus die gleichen Werte annehmen.

Nun dies ist für [mm]\varphi \; = \;\frac{{5\pi }}{4}[/mm] der Fall.

Gruß
MathePower

Bezug
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