Komplexe Zahlen (Wurzeln) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Di 09.11.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Werte der komplexen Wurzel:
[mm] \wurzel[6]{-8}
[/mm]
Geben Sie das Ergebnis in [mm] x+yi,x,y\in\IR, [/mm] an. |
Hallo Leute,
ich bräuchte ein Tipp wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich habe mir recht viel dazu durchgelesen und habe auch sowas ähnliches gesehen wie:
[mm] z^{6}-8=0 [/mm] oder so.
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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Hallo Random,
> Bestimmen Sie alle Werte der komplexen Wurzel:
>
> [mm]\wurzel[6]{-8}[/mm]
>
> Geben Sie das Ergebnis in [mm]x+yi,x,y\in\IR,[/mm] an.
> Hallo Leute,
>
> ich bräuchte ein Tipp wie ich diese Aufgabe angehen soll.
> Ich habe mir recht viel dazu durchgelesen und habe auch
> sowas ähnliches gesehen wie:
>
> [mm]z^{6}-8=0[/mm] oder so.
Die Bestimmung der [mm]\wurzel[6]{-8}[/mm] ist äquivalent mit dem
Lösen der Gleichung
[mm]z^{6}+8=0[/mm]
Das kannst Du jetzt über die Formel
[mm]z_{k}=\wurzel[n]{r}*\left(\cos\left(\bruch{\varphi+2*k\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+2*k\pi}{n}\right)\right), \ k=0,1, \ ... \ , n-1[/mm]
wobei r der Betrag, und [mm]\varphi[/mm] das Argument der komplexen Zahl ist,
von der die n-ten Wurzeln zu bestimmen sind,
lösen.
>
> Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
>
> Ilya
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 09.11.2010 | | Autor: | Random |
Okay hab es jetzt eingesetzt und bekomme das hier raus:
[mm] z_{-8}=\wurzel[6]{-8}(cos(\bruch{\varphi-16\pi}{6})+i*sin(\bruch{\varphi-16\pi}{6})
[/mm]
Wie soll ich hier vorgehen um r zu bestimmen und [mm] \varphi?
[/mm]
Ausserdem muss ich ja das Ergbniss ohne Sin und Cos angeben xD muss ich das dann in die andere Form umwandeln?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay hab es jetzt eingesetzt und bekomme das hier raus:
>
> [mm]z_{-8}=\wurzel[6]{-8}(cos(\bruch{\varphi-16\pi}{6})+i*sin(\bruch{\varphi-16\pi}
{6})[/mm]
Was soll die 16 da oben ?
Mathe Power hat geschrieben:
$ [mm] z_{k}=\wurzel[n]{r}\cdot{}\left(\cos\left(\bruch{\varphi+2\cdot{}k\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+2\cdot{}k\pi}{n}\right)\right), [/mm] \ k=0,1, \ ... \ , n-1 $
wobei r der Betrag, und $ [mm] \varphi [/mm] $ das Argument der komplexen Zahl ist,
von der die n-ten Wurzeln zu bestimmen sind,
>
> Wie soll ich hier vorgehen um r zu bestimmen und [mm]\varphi?[/mm]
r ist der Betrag von -8, also r=?
Mal Dir doch mal die -8 in die komplexe Ebene. Dann kannst Du [mm] \varphi [/mm] doch ablesen !
FRED
>
> Ausserdem muss ich ja das Ergbniss ohne Sin und Cos angeben
> xD muss ich das dann in die andere Form umwandeln?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 09.11.2010 | | Autor: | Random |
Also der Betrag von -8 ist [mm] \wurzel{(-8)^2} [/mm] ergibt 8.
Wenn ich -8 in ein einfaches Koordinatensystem einzeichne bekomme ich den Winkel 180°? xD
Ich hoffe so ist das richtig.
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Hallo Random,
> Also der Betrag von -8 ist [mm]\wurzel{(-8)^2}[/mm] ergibt 8.
>
> Wenn ich -8 in ein einfaches Koordinatensystem einzeichne
> bekomme ich den Winkel 180°? xD
>
> Ich hoffe so ist das richtig.
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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> Bestimmen Sie alle Werte der komplexen Wurzel:
>
> [mm]\wurzel[6]{-8}[/mm]
>
> Geben Sie das Ergebnis in [mm]x+yi,x,y\in\IR,[/mm] an.
> Hallo Leute,
>
> ich bräuchte ein Tipp wie ich diese Aufgabe angehen soll.
> Ich habe mir recht viel dazu durchgelesen und habe auch
> sowas ähnliches gesehen wie:
>
> [mm]z^{6}-8=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder so.
>
> Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
>
> Ilya
Hallo Ilya,
anstatt dir eine Formel zu "servieren", die dir für dein
eigenes Verständnis nicht sehr viel bringt, möchte ich dir
folgenden Weg vorschlagen:
Potenzen von komplexen Zahlen berechnet man in
Polarkoordinaten leichter als in kartesischen.
Wenn eine komplexe Zahl den Betrag r und den Argu-
mentwinkel \varphi hat, so gilt
$\ z\ =\ r*e^{i*\varphi}$
Die n-te Potenz davon ist
$\ z^n=(r*e^{i*\varphi})^n\ =\ r^n*(e^{i*\varphi})^n\ =\ r^n*e^{i*n*\varphi}$
In deinem Beispiel sind die Lösungen der Gleichung
$\ z^6\ =\ -8}$
gesucht. Die Zahl -8 hat den Betrag 8 und den Polarwinkel
180° oder \pi. Also verbleibt uns die Gleichung
$\ z^6\ =\ r^6*e^{i*6*\varphi}\ =\ 8*e^{i*\pi}$
zu betrachten. Damit zwei in Polarkoordinaten geschriebene
komplexe Zahlen gleich sind, müssen ihre Beträge übereinstimmen
und ihre Argumente müssen modulo 2\,\pi identisch sein.
Im Beispiel bedeutet dies:
1.) $\ r^6\ =\ 8$
2.) $\ 6*\varphi\ =\ \pi+k*(2\,\pi)$ (k\in\IZ)
Daraus kann man nun den (eindeutigen, nicht negativen)
Wert von $r$ sowie die möglichen Winkel bestimmen.
Trotz der zunächst unendlich vielen k\in\IZ hat man am
Schluss doch nur endlich viele (nämlich 6) mögliche
Lösungen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 09.11.2010 | | Autor: | Random |
Hallo Al-Chw.
Danke für deine ausführliche Erklärung. Ich habe es zwar verstanden, aber nur bis zu dem Teil: [mm] 8*e^{i*\pi} [/mm] , da
der Betrag von -8 natürlich 8 ist und der Winkel 180° also gleich [mm] \pi [/mm] íst.
Wie muss ich nun vorgehen?
Ich habe es so verstanden, dass jede Lösung den Betrag [mm] r^6=8 [/mm] haben muss und den gleichen Winkel nur immer [mm] *2\pi [/mm] genommen haben muss.
Muss ich den Betrag r bestimmen?
Und wie kommst du auf die 2.) Gleichung?
Vielen Dank iim Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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> Hallo Al-Chw.
>
> Danke für deine ausführliche Erklärung. Ich habe es zwar
> verstanden, aber nur bis zu dem Teil: [mm]8*e^{i*\pi}[/mm] , da
>
> der Betrag von -8 natürlich 8 ist und der Winkel 180°
> also gleich [mm]\pi[/mm] íst.
>
> Wie muss ich nun vorgehen?
>
> Ich habe es so verstanden, dass jede Lösung den Betrag
> [mm]r^6=8[/mm] haben muss und den gleichen Winkel nur immer [mm]*2\pi[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> genommen haben muss.
> Muss ich den Betrag r bestimmen?
Ja. Der Radius $r$ für jede Lösungszahl muss eben den Wert $r$
haben, wobei $r$ diejenige positive Zahl ist, für welche die
Gleichung [mm] r^6=8 [/mm] zutrifft.
> Und wie kommst du auf die 2.) Gleichung?
Nun, wenn zwei komplexe Zahlen gleich sein sollen, dann
müssen sie eben nicht nur gleich weit vom Ursprung
entfernt sein (das ist die Betragsgleichung), sondern sie
müssen von O aus gesehen auch in derselben Richtung
liegen, das heißt, dass ihre Polarwinkel übereinstimmen
müssen - allerdings kann man ja aber zu einem vorge-
gebenen Polarwinkel ein beliebiges Vielfaches von 360°
oder eben von [mm] 2\,\pi [/mm] (mit einem ganzzahligen Faktor)
addieren - und man schaut wieder in die gleiche Richtung.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Di 09.11.2010 | | Autor: | Random |
Okay verstehe =)
Also muss ich die zweite Gleichung nach k auflösen und für phi den Winkel 180° einsetzen?
Und wie bringe ich den Betrag dann in Zusammenhang damit?
Betrag ist ja 6te Wurzel aus 8 also 1,414213562
Muss ich dann einfach Mal nehmen.
Irgendwie verwirrend xD
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Hallo Ilya,
> Okay verstehe =)
>
> Also muss ich die zweite Gleichung nach k auflösen und
> für phi den Winkel 180° einsetzen?
>
> Und wie bringe ich den Betrag dann in Zusammenhang damit?
>
> Betrag ist ja 6te Wurzel aus 8 also 1,414213562
Hmm, genauer [mm]\sqrt{2}[/mm]
>
> Muss ich dann einfach Mal nehmen.
Es steht doch nun mehrfach erklärt hier im thread:
Du musst es nur hinschreiben!
Die 6 Lösungen sind
[mm]z_1=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{\pi}{6}\cdot{}i}[/mm]
[mm]z_2=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{3\pi}{6}\cdot{}i}[/mm]
[mm]z_3=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{5\pi}{6}\cdot{}i}[/mm]
[mm]z_4=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{7\pi}{6}\cdot{}i}[/mm]
[mm]z_5=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{9\pi}{6}\cdot{}i}[/mm]
[mm]z_6=\sqrt{2}\cdot{}e^{\frac{11\pi}{6}\cdot{}i}[/mm]
Weitere von diesen 6 verschiedene Lösungen gibt es nicht, du drehst dich nur [mm]\operatorname{mod}(2\pi}[/mm] weiter im Kreis ...
>
> Irgendwie verwirrend xD
Was genau ist denn so verwirrend?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Random |
Danke sehr!
Ilya
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