Komplexe Zahlen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle z [mm] \in \IC, [/mm] für die die komplexe Zahl [mm] \bruch{zi}{\overline{-z}} [/mm] eine negative reelle Zahl ist! |
Hallo,
liege ich mit der Behauptung richtig, dass die komplexe Zahl [mm] \bruch{zi}{\overline{-z}} [/mm] niemals eine negative reelle Zahl sein kann?
Wenn doch, könnt ihr mir ein Beispiel nennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die die komplexe Zahl
> [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] eine negative reelle Zahl ist!
> Hallo,
>
> liege ich mit der Behauptung richtig, dass die komplexe
> Zahl [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] niemals eine negative reelle
> Zahl sein kann?
> Wenn doch, könnt ihr mir ein Beispiel nennen?
das kannst Du gleich selbst nochmal überdenken:
[mm] $$\frac{zi}{\overline{-z}}=-i*\frac{z*z}{\overline{z}*z}=-i*\frac{z^2}{|z|^2}\,.$$
[/mm]
Jetzt nimm' an, dass dies eine negative reelle Zahl ist - nennen wir sie $n < [mm] 0\,,$ [/mm] $n [mm] \in \IR\,,$ [/mm] also [mm] $n=-|n|\,$:
[/mm]
[mm] $$-i*\frac{z^2}{|z|^2}=-|n|$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (z/|z|)^2=\;\underbrace{\frac{1}{i}}_{=-i}\;*|n|$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (z/|z|)^2=\;-\;i*|n|\,.$$
[/mm]
Denke nun mal drüber nach:
1. Man sieht (eigentlich) leicht, dass [mm] $|n|=1\,,$ [/mm] also [mm] $n=-1\,$ [/mm] sein muss.
Warum?
2. Welche(s) $w:=r+i*s [mm] \in \IC$ [/mm] (also $r,s [mm] \in \IR$) [/mm] erfüllt/erfüllen denn
[mm] $w^2=\;-\;i*1=\;-\;i$?
[/mm]
Tipp: [mm] $w^2=\;-\;i \gdw (r+is)^2=\;-\;i \gdw \ldots$
[/mm]
P.S. Probe sollte man auch durchführen (weil ich ja an einer Stelle "nur":
[mm] $$\Rightarrow n=-1\,$$ [/mm]
oben stehen habe).
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Bestimmen Sie alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die die komplexe Zahl
> > [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] eine negative reelle Zahl ist!
> > Hallo,
> >
> > liege ich mit der Behauptung richtig, dass die komplexe
> > Zahl [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] niemals eine negative reelle
> > Zahl sein kann?
> > Wenn doch, könnt ihr mir ein Beispiel nennen?
>
> das kannst Du gleich selbst nochmal überdenken:
>
> [mm]\frac{zi}{\overline{-z}}=-i*\frac{z*z}{\overline{z}*z}=-i*\frac{z^2}{|z|^2}\,.[/mm]
>
> Jetzt nimm' an, dass dies eine negative reelle Zahl ist -
> nennen wir sie [mm]n < 0\,,[/mm] [mm]n \in \IR\,,[/mm] also [mm]n=-|n|\,[/mm]:
> [mm]-i*\frac{z^2}{|z|^2}=-|n|[/mm]
> [mm]\gdw (z/|z|)^2=\;\underbrace{\frac{1}{i}}_{=-i}\;*|n|[/mm]
>
> [mm]\gdw (z/|z|)^2=\;-\;i*|n|\,.[/mm]
>
> Denke nun mal drüber nach:
> 1. Man sieht (eigentlich) leicht, dass [mm]|n|=1\,,[/mm] also
> [mm]n=-1\,[/mm] sein muss.
> Warum?
>
Also ich sehe irgendwie nicht, dass |n| = 1 sein muss. Ich habe versucht das geometrisch zu interpretieren. Ich habe eine komplexe Zahl z und teile diese durch ihre Länge |z|. Dadurch erhalte ich eine komplexe Zahl die auf dem Einheitskreis in der Ebene liegt. Aber weiter weiß ich auch nicht...
Mein Lösungsansatz war:
Sei z = x + iy für x, y [mm] \in \IR
[/mm]
(zi) / [mm] \overline{-z} [/mm] = [(x + iy) * i] / [mm] \overline{-(x + iy)} [/mm] = [ix - y] / [mm] \overline{(-x) -iy} [/mm] = [mm] \bruch{ix - y}{-x + iy} [/mm] = [mm] \bruch{-y + ix}{-x + iy}
[/mm]
Dann habe ich mir gedacht, dass wenn (zi) / [mm] \overline{-z} [/mm] eine negative reelle Zahl sein soll, müssen die imaginären Einheiten verschwinden. (x=y=0 darf nicht sein, da Bruch sonst nicht definiert)
Dazu habe ich 3 Fallunterscheidungen gemacht:
1. Fall: x=0, [mm] y\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{-y+i*0}{-0+iy} [/mm] = [mm] \bruch{-y}{iy} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{i} [/mm] = [mm] -i^{-1} [/mm] = i
2. Fall: [mm] x\not=0, [/mm] y=0
[mm] \Rightarrow \bruch{ix}{-x} [/mm] = -i = [mm] i^{-1}
[/mm]
3. Fall: x=y, [mm] x\not=0, y\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{-x+ix}{-x+ix} [/mm] = 1
Also finden wir keine komplexe Zahl z, sodass (zi) / [mm] \overline{-z} [/mm] eine negative reelle Zahl ist.
Edit: Ok, habe gerade gemerkt, dass der erste Lösungsansatz Unfug war.
Mein neue Lösung sieht so aus, und deckt sich mit deinen Aussagen:
Sei z = x + iy für x, y [mm] \in \IR
[/mm]
Es ist: (zi) / [mm] \overline{-z} [/mm] = [mm] \bruch{-y + ix}{-x + iy} [/mm]
Angenommen [mm] \bruch{-y + ix}{-x + iy} [/mm] = r für r [mm] \in \IR, [/mm] r <0.
[mm] \gdw [/mm] -y + ix = r * (-x + iy)
[mm] \gdw [/mm] -y + ix = -xr + iry
[mm] \gdw [/mm] (-y + xr) + ix - iry = 0
[mm] \gdw [/mm] (-y + xr) + i * (x-ry) = 0 (Nullelement in [mm] \IC [/mm] eindeutig)
[mm] \gdw =\begin{cases} -y + xr = 0 \\ x - ry = 0 \end{cases}
[/mm]
Dann ist x = ry und
-y + xr
= -y + ry * r
= -y + r^2y = 0
[mm] \gdw [/mm] y*(-1 + [mm] r^2) [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] y = 0 [mm] \vee [/mm] -1 + [mm] r^2 [/mm] = 0
-1 + [mm] r^2 [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] r = [mm] \pm [/mm] 1
Wenn y = 0, dann x = ry = 0, aber das ist nicht möglich.
r = 1 nicht möglich, da nach Voraussetzung r < 0
[mm] \Rightarrow [/mm] r = -1
[mm] \Rightarrow [/mm] x = ry = -y
[mm] \Rightarrow [/mm] z = x + iy = -y + iy
Probe ergibt: (zi) / [mm] \overline{-z} [/mm] = -1 für z = x + iy = -y + iy
> 2. Welche(s) [mm]w:=r+i*s \in \IC[/mm] (also [mm]r,s \in \IR[/mm])
> erfüllt/erfüllen denn
> [mm]w^2=\;-\;i*1=\;-\;i[/mm]?
>
> Tipp: [mm]w^2=\;-\;i \gdw (r+is)^2=\;-\;i \gdw \ldots[/mm]
>
> P.S. Probe sollte man auch durchführen (weil ich ja an
> einer Stelle "nur":
> [mm]\Rightarrow n=-1\,[/mm]
> oben stehen habe).
>
> Gruß,
> Marcel
Die Gleichung besitzt die Lösungen:
w = [mm] -\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] + i * [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
oder
w = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] + i * [mm] (-\wurzel{\bruch{1}{2}})
[/mm]
Probe habe ich gemacht und passt alles.
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Hallo Blackburn,
> > Hallo,
> >
> > > Bestimmen Sie alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die die komplexe Zahl
> > > [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] eine negative reelle Zahl ist!
> Mein Lösungsansatz war:
>
> Sei z = x + iy für x, y [mm]\in \IR[/mm]
>
> (zi) / [mm]\overline{-z}[/mm] = [(x + iy) * i] / [mm]\overline{-(x + iy)}[/mm]
> = [ix - y] / [mm]\overline{(-x) -iy}[/mm] = [mm]\bruch{ix - y}{-x + iy}[/mm]
> = [mm]\bruch{-y + ix}{-x + iy}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist doch i.O. Mache nun den Nenner reell, erweitere also mit dem komplex Konjugierten des Nenners, um eine Darstellung [mm] $z=\alpha+i\beta$ [/mm] zu bekommen, woraus du dann [mm] $\alpha\in\IR^-$ [/mm] und [mm] $\beta=0$ [/mm] bestimmen kannst ...
Das gibt [mm] $\frac{(-y+ix)(-x-iy)}{x^2+y^2}=\frac{2xy+i(y^2-x^2)}{x^2+y^2}=\underbrace{\frac{2xy}{x^2+y^2}}_{=\alpha}+i\cdot{}\underbrace{\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}}_{=\beta}$
[/mm]
Das liefert:
1) [mm] $\frac{2xy}{x^2+y^2}<0$
[/mm]
2) [mm] $\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}=0$
[/mm]
Also $2xy<0$ und [mm] $x^2=y^2$
[/mm]
Hier erhalte ich nach überschlägiger Schmierrechnung eine ganze Menge Lösunge, weit mehr als die beiden aus deinem anderen Ansatz, den ich nicht verfolgt habe ... (die beiden Lösungen sind in *meiner* aber eingeschlossen  )
>
> Dann habe ich mir gedacht, dass wenn (zi) / [mm]\overline{-z}[/mm]
> eine negative reelle Zahl sein soll, müssen die
> imaginären Einheiten verschwinden. (x=y=0 darf nicht sein,
> da Bruch sonst nicht definiert)
> Dazu habe ich 3 Fallunterscheidungen gemacht:
>
> 1. Fall: x=0, [mm]y\not=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{-y+i*0}{-0+iy}[/mm] = [mm]\bruch{-y}{iy}[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{i}[/mm] = [mm]-i^{-1}[/mm] = i
>
> 2. Fall: [mm]x\not=0,[/mm] y=0
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{ix}{-x}[/mm] = -i = [mm]i^{-1}[/mm]
>
> 3. Fall: x=y, [mm]x\not=0, y\not=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{-x+ix}{-x+ix}[/mm] = 1
>
> Also finden wir keine komplexe Zahl z, sodass (zi) /
> [mm]\overline{-z}[/mm] eine negative reelle Zahl ist.
>
> Edit: Ok, habe gerade gemerkt, dass der erste
> Lösungsansatz Unfug war.
>
> Mein neue Lösung sieht so aus, und deckt sich mit deinen
> Aussagen:
>
> Sei z = x + iy für x, y [mm]\in \IR[/mm]
>
> Es ist: (zi) / [mm]\overline{-z}[/mm] = [mm]\bruch{-y + ix}{-x + iy}[/mm]
>
> Angenommen [mm]\bruch{-y + ix}{-x + iy}[/mm] = r für r [mm]\in \IR,[/mm] r
> <0.
>
> [mm]\gdw[/mm] -y + ix = r * (-x + iy)
>
> [mm]\gdw[/mm] -y + ix = -xr + iry
>
> [mm]\gdw[/mm] (-y + xr) + ix - iry = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] (-y + xr) + i * (x-ry) = 0 (Nullelement in [mm]\IC[/mm]
> eindeutig)
>
> [mm]\gdw =\begin{cases} -y + xr = 0 \\
x - ry = 0 \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist x = ry und
>
> -y + xr
> = -y + ry * r
> = -y + r^2y = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] y*(-1 + [mm]r^2)[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] y = 0 [mm]\vee[/mm] -1 + [mm]r^2[/mm] = 0
>
> -1 + [mm]r^2[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] r = [mm]\pm[/mm] 1
>
> Wenn y = 0, dann x = ry = 0, aber das ist nicht möglich.
>
> r = 1 nicht möglich, da nach Voraussetzung r < 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] r = -1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = ry = -y
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z = x + iy = -y + iy
>
> Probe ergibt: (zi) / [mm]\overline{-z}[/mm] = -1 für z = x + iy =
> -y + iy
>
> > 2. Welche(s) [mm]w:=r+i*s \in \IC[/mm] (also [mm]r,s \in \IR[/mm])
> > erfüllt/erfüllen denn
> > [mm]w^2=\;-\;i*1=\;-\;i[/mm]?
> >
> > Tipp: [mm]w^2=\;-\;i \gdw (r+is)^2=\;-\;i \gdw \ldots[/mm]
> >
> > P.S. Probe sollte man auch durchführen (weil ich ja an
> > einer Stelle "nur":
> > [mm]\Rightarrow n=-1\,[/mm]
> > oben stehen habe).
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Die Gleichung besitzt die Lösungen:
>
> w = [mm]-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] + i * [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> oder
>
> w = [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] + i * [mm](-\wurzel{\bruch{1}{2}})[/mm]
>
> Probe habe ich gemacht und passt alles.
Gruß
schachuzipus
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Mit deiner Lösung, bekomme ich aber das gleiche raus.
2xy < 0 bedeutet, dass x < 0 und y > 0, oder x > 0 und y < 0.
In beiden Fällen ist aber x [mm] \not= [/mm] 0 und y [mm] \not= [/mm] 0.
[mm] x^2 [/mm] = [mm] y^2 \gdw [/mm] x = -y [mm] \vee [/mm] x = y
x = y darf aber nicht sein, wegen x < 0 und y > 0, oder x > 0 und y < 0.
Aber x = -y ist möglich.
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Hallo nochmal,
> Mit deiner Lösung, bekomme ich aber das gleiche raus.
??
>
> 2xy < 0 bedeutet, dass x < 0 und y > 0, oder x > 0 und y <
> 0.
> In beiden Fällen ist aber x [mm]\not=[/mm] 0 und y [mm]\not=[/mm] 0.
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]y^2 \gdw[/mm] x = -y [mm]\vee[/mm] x = y
>
> x = y darf aber nicht sein, wegen x < 0 und y > 0, oder x >
> 0 und y < 0.
Genau [mm]2xy[/mm] wäre immer positiv
> Aber x = -y ist möglich.
Genau!
Mit [mm]x=-y[/mm] hast du in der ersten Gleichung doch [mm]2xy<0\gdw -2x^2<0[/mm]
Und das erfüllt jedes [mm]x\neq 0[/mm]
Also hast du als Lösungen die Zahlen [mm]z=x-ix[/mm] mit [mm]x\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Aber genau das hatte ich doch oben in meiner neuen Lösung auch raus. :D
Oben steht: z = -y + iy für y [mm] \not= [/mm] 0
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Hallo nochmal,
umso besser
Ich hatte es nur überflogen und gedacht, dass die beiden w's deine Lösungen sind ...
Vllt. kannst du nächstes Mal "besser" zitieren (und altes Zeugs, was nicht benötigt wird, rauslöschen), so dass man auf einen Blick erkennen kann, wo deine Rechnung anfängt und wo sie aufhört ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber genau das hatte ich doch oben in meiner neuen Lösung
> auch raus. :D
>
> Oben steht: z = -y + iy für y [mm]\not=[/mm] 0
genau: und wenn man sich [mm] $\IC$ [/mm] geometrisch als den euklidischen [mm] $\IR^2$ [/mm]
vorstellt, so sind das genau alle Punkte
[mm] $$\{(x,\;y) \in \IR^2: y=-x \text{ und }x \not=0\}\,,$$
[/mm]
also dann nichts anderes als der Graph der Funktion
$$f(x):=-x [mm] \text{ für }x \in \IR \setminus \{0\}\,.$$
[/mm]
(Das heißt, dass die Gerade durch eine Geradengleichung beschrieben
wird - und sowas kennt man ja schon aus der Schule!)
(Natürlich könnte man diese Menge auch
[mm] $$\{r*(-1,\;1): r \in \IR \setminus \{0\}\}$$
[/mm]
schreiben und hätte dann "eine Geradendarstellung in Parameterform".)
Gruß,
Marcel
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Sorry, dass ich mich jetzt erst melde.
Ich wollte mich nur für die nette und ausführliche Hilfe bedanken!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Bestimmen Sie alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die die komplexe Zahl
> > > [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] eine negative reelle Zahl ist!
> > > Hallo,
> > >
> > > liege ich mit der Behauptung richtig, dass die komplexe
> > > Zahl [mm]\bruch{zi}{\overline{-z}}[/mm] niemals eine negative reelle
> > > Zahl sein kann?
> > > Wenn doch, könnt ihr mir ein Beispiel nennen?
> >
> > das kannst Du gleich selbst nochmal überdenken:
> >
> >
> [mm]\frac{zi}{\overline{-z}}=-i*\frac{z*z}{\overline{z}*z}=-i*\frac{z^2}{|z|^2}\,.[/mm]
> >
> > Jetzt nimm' an, dass dies eine negative reelle Zahl ist -
> > nennen wir sie [mm]n < 0\,,[/mm] [mm]n \in \IR\,,[/mm] also [mm]n=-|n|\,[/mm]:
> > [mm]-i*\frac{z^2}{|z|^2}=-|n|[/mm]
> > [mm]\gdw (z/|z|)^2=\;\underbrace{\frac{1}{i}}_{=-i}\;*|n|[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw (z/|z|)^2=\;-\;i*|n|\,.[/mm]
> >
> > Denke nun mal drüber nach:
> > 1. Man sieht (eigentlich) leicht, dass [mm]|n|=1\,,[/mm] also
> > [mm]n=-1\,[/mm] sein muss.
> > Warum?
> >
>
> Also ich sehe irgendwie nicht, dass |n| = 1 sein muss. Ich
> habe versucht das geometrisch zu interpretieren. Ich habe
> eine komplexe Zahl z und teile diese durch ihre Länge |z|.
> Dadurch erhalte ich eine komplexe Zahl die auf dem
> Einheitskreis in der Ebene liegt. Aber weiter weiß ich
> auch nicht...
das war doch schon genau das, was Du nur hättest "in die Sprache
der Algebra" umsetzen sollen:
Das, was Du da beschrieben hast, besagt doch:
Wenn man $c:=z/|z|$ betrachtet, dann hat [mm] $c\,$ [/mm] die Länge [mm] $1\,.$
[/mm]
Also: Es gilt [mm] $|c|=1\,.$
[/mm]
Beweis: Es ist [mm] $|c|=\left|\frac{z}{|z|}\right|=\frac{|z|}{\;|\;\;|z|\;\;|}=|z|/|z|=1$
[/mm]
für [mm] $c=z/|z|\,$ [/mm] mit komplexem [mm] $z\not=0\,.$ $\blacksquare$
[/mm]
Oben hatten wir
[mm] $$\Big(\frac{z}{|z|}\Big)^2=\;-\;i*|n|\,.$$
[/mm]
Bilde nun den Betrag auf beiden Seiten und beachte [mm] $|v^2|=|v|^2$ [/mm] für
$v [mm] \in \IC\,.$ [/mm] (Beweis?)
Daraus folgt dann, dass [mm] $n=-1\,$ [/mm] sein muss.
Anders gesagt:
Gesucht sind alle [mm] $z\in \IC$ [/mm] mit [mm] $(z/|z|)^2=\;-\;i\,.$
[/mm]
Die Gleichung [mm] $w^2=-i\,$ [/mm] kann man nun so lösen, wie ich es angedeutet
hatte (man kann es auch mit der eulerschen Formel angehen!):
Wenn man das macht, erkennt man schnell, dass
[mm] $$w_1:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-i\right)$$
[/mm]
eine Lösung der Gleichung [mm] $w^2=-i$ [/mm] ist:
Es ist nämlich [mm] $(1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$ [/mm] und [mm] $\sqrt{2}^2=2\,,$
[/mm]
also folgt [mm] $w_1^2=-i\,.$
[/mm]
Analog oder mithilfe der Rechnung bzgl. [mm] $w_1^2$ [/mm] erkennt man, dass [mm] $-(1-i)/\sqrt{2}=:w_2$ [/mm] eine weitere Lösung der Gleichung [mm] $w^2=-i$ [/mm] ist.
Damit sind auch schon alle Lösungen der Gleichung [mm] $w^2=-i\,$ [/mm] gefunden.
Also suchen wir nun alle komplexen $z [mm] \not=0$ [/mm] derart, dass
[mm] $$(\*\*)\;\;\;z/|z|=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\,.$$
[/mm]
(Nebenbei bemerkt gilt für die Zahl rechterhand auch, dass sie, wie
jedes [mm] $z/|z|\,,$ [/mm] auf dem Einheitskreis liegt.)
Und wenn Du magst, dann kannst Du nun auch erstmal nochmal
versuchen, Dir das ganze geometrisch zu veranschaulischen! Es liegt
hier nämlich wegen [mm] $(\*\*)$ [/mm] nahe, sich in der komplexen Ebene mal zwei
gewisse Strahlen anzugucken (ohne den Nullpunkt) - und diese Strahlen
haben einen gewissen Winkel zueinander, so dass man - mit Ausnahme
des Nullpunktes, sie auch als einzelne Gerade betrachten könnte.
P.S. Ob man nun bei [mm] $\frac{...}{\tilde{z}}$ [/mm] erst $z=x+iy$ ($x,y [mm] \in \IR$)
[/mm]
(für [mm] $\tilde{z} \not=0$ [/mm] - damit der Bruch, der da steht, auch definiert ist)
schreibt und dann
[mm] $$\frac{...}{\tilde{z}}=\frac{...}{x+iy}=\frac{...*(x-iy)}{x^2+y^2}$$
[/mm]
rechnet (siehe etwa bei Dir und Schachu), oder, ob man das kurz so
schreibt
[mm] $$\frac{...}{\tilde{z}}=\frac{...*\overline{\tilde{z}}}{\tilde{z}*\overline{\tilde{z}}}=\frac{...*\overline{\tilde{z}}}{|\tilde{z}|^2}$$
[/mm]
rechnet, ist egal. In beiden Fällen benutzt man, und das solltest Du Dir
merken:
Das Produkt einer komplexen Zahl mit seiner konjugiert komplexen ist
das Quadrat des Betrages (der "Länge") der komplexen Zahl! (Das gilt
auch für die komplexe Null!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, es sei [mm] \bruch{iz}{-z}=a \in \IR.
[/mm]
Dann ist iz=-az und z [mm] \ne [/mm] 0.
Nun werfe das z aus obiger Gleichung. Was folgt ?
Edit: Vergesst meine Antwort ! Den Bruch habe ich falsch interpretiert.
FRED
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:44 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Nimm mal an, es sei [mm]\bruch{iz}{-z}=a \in \IR.[/mm]
in der Aufgabe steht [mm] $iz/\;\overline{-z}\,,$ [/mm] nicht [mm] $iz/-z\,,$ [/mm] was auch langweilig wäre!
P.S. Hier ist es eigentlich tatsächlich besser, den Bruchstrich als Schrägstrich zu schreiben ^^
Gruß,
marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> Nimm mal an, es sei [mm]\bruch{iz}{-z}=a \in \IR.[/mm]
In der Aufgabe lautet der Nenner [mm] $\overline [/mm] {-z}$ und nicht $-z$.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo FRED,
>
> > Nimm mal an, es sei [mm]\bruch{iz}{-z}=a \in \IR.[/mm]
>
> In der Aufgabe lautet der Nenner [mm]\overline {-z}[/mm] und nicht
> [mm]-z[/mm].
ist aber auch echt leicht zu übersehen wegen des Bruchstriches (ich hatte es gestern
... oh: heute nacht - auch erst übersehen...)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > Nimm mal an, es sei [mm]\bruch{iz}{-z}=a \in \IR.[/mm]
>
> In der Aufgabe lautet der Nenner [mm]\overline {-z}[/mm] und nicht
> [mm]-z[/mm].
Oh, das habe ich übersehen ! Danke.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
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