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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge der komplexen Zahlen c mit [mm] \left| c \right| [/mm] = 1 bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen eine Gruppe bildet. Kann man 1 durch eine beliebige natürliche Zahl ersetzen? |
Eine Gruppe muss folgende Axiome erfüllen; Assoziativgesetz [mm] (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ [/mm] c), dass es mindestens ein neutrales Element gibt, und zu jedem a existiert ein Inverses. Wenn das Kommutativgesetz gilt, dann ist die Gruppe abelsch.
Wie zeige ich diese Punkte in Zusammenhang mit dem obigen Beispiel?
Vielen Dank für eure Hilfe.
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> Zeigen Sie, dass die Menge der komplexen Zahlen c mit
> [mm]\left| c \right|[/mm] = 1 bezüglich der Multiplikation
> komplexer Zahlen eine Gruppe bildet. Kann man 1 durch eine
> beliebige natürliche Zahl ersetzen?
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> Eine Gruppe muss folgende Axiome erfüllen;
> Assoziativgesetz [mm](a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ[/mm] c), dass
> es mindestens ein neutrales Element gibt, und zu jedem a
> existiert ein Inverses. Wenn das Kommutativgesetz gilt,
> dann ist die Gruppe abelsch.
Hallo,
zusätzlich gibt es noch eine Anforderung an die Verknüpfung: die Verknüpfung zweier Elemente der Menge muß wieder in der Menge liegen.
Du kannst hier aber etwas Arbeit sparen:
Du weißt sicher, daß [mm] \IC [/mm] ein Körper ist.
Du kannst also zeigen, daß die komplexen Zahlen, die den Betrag 1 haben, eine Untergruppe der komplexen Zahlen sind.
Stichwort: Untergruppenkriterium. (Es lautet?)
> Wie zeige ich diese Punkte in Zusammenhang mit dem obigen Beispiel?
Kannst Du Dein Problem etwas konkreter darstellen?
Wo genau scheiterst Du?
Zunächst einmal mußt Du Dir überlegen, wie die komplexen Zahlen aussehen, die den Betrag 1 haben.
(Welche Darstellungen von komplexen Zahlen kennst Du?
Was weißt Du über den Betrag von komplexen Zahlen?)
Gruß v. Angela
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Danke schon einmal für deine Antwort. Ja, dass Untergruppenkriterium kenne ich natürlich, es lautet: "Eine Teilmenge [mm] H\subseteq [/mm] G einer Gruppe [mm] (G,\circ, [/mm] e) ist genau dann eine Untergruppe, wenn eine der beiden äquivalenten Bedingungen gilt:
(i) Für alle g,h [mm] \in [/mm] H liegt die Verknüpfung [mm] g\circ [/mm] h [mm] \in [/mm] H und zusätzlich liegt zu jedem Element h [mm] \in [/mm] H auch das Inverse [mm] h^{-1}\in [/mm] H.
(ii) Für alle g,h [mm] \in [/mm] H ist auch g [mm] \circ h^{-1} \in [/mm] H"
Der Betrag der komplexen Zahlen ist ja wiefolgt definiert:
[mm] |z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}, [/mm] das trifft nur zu wenn a=0 und b=1, oder wenn a=1 und b=0.
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Und der Dreh- und Angelpunkt ist die folgende für den komplexen Betrag gültige Formel:
[mm]\left| z \cdot w \right| = \left| z \right| \cdot \left| w \right|[/mm] für alle [mm]z,w \in \mathbb{C}[/mm]
Das ist die Verträglichkeit des Betrags mit der Multiplikation.
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Also muss man eigentlich nur zeigen, dass wenn |c| und |d| zwei Elemente in der Untergruppe von den komplexen Zahlen sind, dann muss auch gelten:
[mm] \left| c \cdot d \right| [/mm] = [mm] \left| c \right| \cdot \left| d \right|
[/mm]
Und das dass Inverse [mm] |d|^{-1} [/mm] Element der Untegruppe ist, oder?
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Hallo,
> Also muss man eigentlich nur zeigen, dass wenn |c| und |d|
> zwei Elemente in der Untergruppe von den komplexen Zahlen
> sind,
Die Elemente sind aber komplexe Zahlen, keine Beträge (die reell sind)
Die Elemente sind [mm]c,d\in\IC[/mm] mit der Eigenschaft (!) [mm]|c|=|d|=1[/mm]
> dann muss auch gelten:
>
> [mm]\left| c \cdot d \right|[/mm] = [mm]\left| c \right| \cdot \left| d \right|[/mm]
Nein, zu zeigen ist, dass [mm]c\cdot{}d[/mm] wieder in der Untergruppe ist ...
>
> Und das dass Inverse [mm]|d|^{-1}[/mm] Element der Untegruppe ist,
> oder?
Zu zeigen ist, dass das Inverse zu [mm]d[/mm] aus der Untergruppe, also [mm]d^{-1}[/mm] in der Untergruppe ist.
Dazu musst du nur die definierenden Eigenschaften der Untergruppe (Betrag=1) ausnutzen und die Regel aus LeopoldGasts post.
Zu zeigen ist außerdem, dass die Untergruppe nicht leer ist; zeige dazu, dass [mm]1\in\IC[/mm] auch in der Untergruppe ist ([mm]1[/mm] ist auch dort das neutrale Element)
Gruß
schachuzipus
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Danke für eure Hilfe, werde mir das Beispiel noch einmal in aller Ruhe zu Gemüte führen.
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