Komplexe Zahlen in a+b*i < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei z := 2 + i/2. Man stelle folgende komplexe Zahlen in der Form a+b*i mit a,b Element der reellen Zahlen dar:
b) [mm] \bruch{1+z}{1-z}
[/mm]
c) z² |
Hallo @ all,
das ist mein erstes Posting im Matheraum. Ich hoffe, dass mir hier geholfen werden kann ;) Gleich vorne weg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt zur oben stehenden Aufgabenstellung. Ich weiss nicht so richtig, wie ich die Teilaufgabe b) lösen soll. Vielleicht hat hier jemand eine Anregung für mich. Im Falle der Teilaufgabe c) würde ich meinen, dass ich n=2 setze und somit für k=0 und k=1 die Gleichung
z := [mm] \cos(phi/n+2*phi*k/n) [/mm] + i* [mm] \sin(phi/n+2*phi*k/n) [/mm]
einsetze und ausrechne und damit die 2 möglichen Fälle habe, und somit die Aufgabe gelöst habe. Ist das richtig (für c))? Wenn ja, wie mache ich das mit b)?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:59 Sa 22.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Es sei z := 2 + i/2. Man stelle folgende komplexe Zahlen in
> der Form a+b*i mit a,b Element der reellen Zahlen dar:
>
> b) [mm]\bruch{1+z}{1-z}[/mm]
> c) z²
> Hallo @ all,
>
> das ist mein erstes Posting im Matheraum. Ich hoffe, dass
> mir hier geholfen werden kann ;) Gleich vorne weg: Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> Jetzt zur oben stehenden Aufgabenstellung. Ich weiss nicht
> so richtig, wie ich die Teilaufgabe b) lösen soll.
> Vielleicht hat hier jemand eine Anregung für mich. Im Falle
> der Teilaufgabe c) würde ich meinen, dass ich n=2 setze und
> somit für k=0 und k=1 die Gleichung
>
> z := [mm]\cos(phi/n+2*phi*k/n)[/mm] + i* [mm]\sin(phi/n+2*phi*k/n)[/mm]
>
> einsetze und ausrechne und damit die 2 möglichen Fälle
> habe, und somit die Aufgabe gelöst habe. Ist das richtig
> (für c))? Wenn ja, wie mache ich das mit b)?
Wieso so kompliziert? Kann man nicht einfach einsetzen, was man hat, und dann umformen:
[mm] z=2+\bruch{i}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z^2=(2+\bruch{i}{2})^2=4+\bruch{4i}{2}+\bruch{i^2}{2}=4+2i-\bruch{1}{2}=\bruch{7}{2}+2i
[/mm]
Bei der ersten Aufgabe bin ich mir nicht so ganz sicher, aber könnte man es nicht so machen:
[mm] \bruch{1+z}{1-z}=\bruch{1+2+\bruch{i}{2}}{1-2-\bruch{i}{2}}=\bruch{3+\bruch{1}{2}i}{-1-\bruch{1}{2}i}\overbrace{=}^{!}a+ib
[/mm]
wobei die geschweifte Klammer mit dem ! bedeuten soll, dass das Ganze gleich der rechten Seite sein soll (und a und b noch gesucht sind)
Und dann multiplizierst du mit dem Nenner und erhältst nach ein wenig umformen:
[mm] 3+\bruch{1}{2}i=-a+\bruch{1}{2}b-i(\bruch{1}{2}a+b)
[/mm]
daraus ergeben sich die beiden Gleichungen [mm] -a+\bruch{1}{2}b=3 [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}a+b=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Ich erhalte dann später [mm] a=-\bruch{11}{5} [/mm] und [mm] b=\bruch{8}{5}. [/mm] Hab's aber nur schnell aufm Schmierpapier berechnet, also keine Garantie!!!
Aber eigentlich müsste es doch so klappen, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Sorry, aber ich wollte eigentlich nur einen "kleinen Rechenfehler" anmerken und nicht die ganze Antwort als Fehlerhaft melden --> das gehört wohl nun in die Rubrik "Newbie lernt noch" im Bereich matheraum.de *g*
Der Fehler ist im Prinzip nur bei der Berechnung der z² ... da heisst es bei dir: [mm] (2+\bruch{i}{2})² [/mm] = 4 + 2i + [mm] \bruch{i*i}{2} [/mm] ... es ist aber [mm] \bruch{i*i}{4}
[/mm]
Das wars ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Sa 22.07.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Das Ergebnis von Bastiane kann ich bestätigen!
Ich habe hier vielleicht noch eine Vorgehensweise, wie sich Aufgaben der Sorte b) immer schnell und Effzient lösen lassen...
Gegeben sei eine komplexe Zahl [mm] $z=2+\bruch{i}{2}$.
[/mm]
Ich möchte es an deinem konkreten Beispiel zeigen, der Übertrag auf ähnliche Aufgabenstellungen ist dann einfach.
Sei [mm] \bruch{1+z}{1-z} [/mm] die in der Form $a+i*b$ darzustellende komplexe Zahl.
[mm] \bruch{1+2+\bruch{i}{2}}{1-2+\bruch{i}{2}}=\bruch{3+\bruch{i}{2}}{-1+\bruch{i}{2}}
[/mm]
Nun erweiterst du den letzen Ausdruck mit dem komplex konjugierten des Nenners, d.h. du rechnest
[mm] \bruch{(3+\bruch{i}{2})*(-1-\bruch{i}{2})}{(-1+\bruch{i}{2})*(-1-\bruch{i}{2})}
[/mm]
Durch die Tatsache, dass [mm] i^{2}=-1 [/mm] ist, wird dein Nenner nun nach Ausmultiplizieren reell.
Wenn du nun noch alle Terme ordnest und zussamenfasst und schließlich den gesamten Bruch in die Summe eines rein rellen Bruches und eines Bruches mit komplexen Anteils zerlegst, steht die gesuchte Zahl in der gewünschten Form da.
Durch dieses "Nenner-Reellmachen" kommt man bei solchen Aufgaben immer, ohne dass man Gleichungen lösen muss, zum Ziel!
Vlg, Kübi
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Super,
das ging ja schneller als gedacht  Recht lieben Dank an euch beide!
Vlg die determinante!
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| Aufgabe | | Für welche w Element der Komplexen Zahlen gilt w² = z? |
Ok, soweit so gut. Ich habe wieder z := 2 + [mm] \bruch{i}{2} [/mm] und setze dies für z in die Gleichung ein. Nun erhalte ich w = [mm] \wurzel{2+\bruch{i}{2}} [/mm] .
In der Übung wurde dann geschlussfolgert:
w = [mm] \wurzel{\bruch{\wurzel{12}}{2}} [/mm] * [mm] \cos{\bruch{costg0,25}{2}} [/mm] + i * [mm] \sin\bruch{costg0,25}{2}
[/mm]
Ich verstehe gerade nicht, wie man auf die letzte Gleichung für w kommt? Vllt kann mir jemand weiterhelfen
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
: es gibt hier selbstverständlich zwei Lösungen!
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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