Komplexe Zahlen reel machen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 10.04.2005 | | Autor: | MaxPower |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Probleme, diese Aufgabe zu lösen (is eine Übungsaufgabe zum durchenommenen Stoff):
Für welche Ausdrücke von z ist der Ausdruck z / (1+z*z) Reel ?
(z ist eine komplexe zahl)
Ich schätze mal damit ist gemeint, dass der Nenner reel werden muss, und daher habe ich bisher 2 Ansätze versucht.
Für z habe ich x + i y eingesetzt, aber das hat zu nichts geführt,im nenner bleibt noch ein Ausdruck mit i übrig (der rest fällt ja weg, i*i = -1)
Mein zweiter Ansatz war, den Bruch mit (1-z*z) zu multiplizieren, aber das hat auch nichts gebracht.
Ich habe eigentlich gedacht, ich habe das Thema "komplexe Zahlen" verstanden (die anderen Aufgaben konnte ich alle lösen), aber hier hänge ich echt fest...
Wäre dankbar für einen Ansatz oder einen kleinen Hinweis.
cya
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo Daniel,
wenn ich dich richtig verstehe, dann bist du bei [mm] $\bruch{x+i y}{1+x^2-y^2+2 i x y}$ [/mm] hängen geblieben.
Hilft dir der Tipp [mm] $\bruch{1}{z}=\bruch{\overline{z}}{z\overline{z}}=\bruch{\overline{z}}{|z|^2}$, [/mm] wobei [mm] $\overline{x+i y}:=x-i [/mm] y$ ist, weiter?
Wenn nicht, fragen!
Viel Erfolg,
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 10.04.2005 | | Autor: | MaxPower |
Hi,
vielen Dank für die Antwort, aber leider erkenne ich im Nenner keine der von dir gezeigten Strukturen.
Ich wollte den Nenner mithilfe der dritten binomischen Formel in 2 komplexe Zahlen aufteilen, aber das scheint nicht zu klappen.
Kannst du mir vielleicht konkret erklären, wie du jetzt weitervorangehen würdest ?
:)
cya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo MaxPower,
wenn du $z=x+iy$ in [mm] $\frac{z}{1+z^2}$ [/mm] einsetzt und auflöst kommst du automatisch zu diser Struktur.
Alternativ kannst du auch untersuchen, wann [mm] $\frac{z}{1+z^2}=\frac{1}{\frac{1}{z}+z}$ [/mm] reell ist, Da der Zähler rell ist, musst du nur noch entscheidne, wann [mm] $\frac{1}{z}+z=\frac{1}{x+iy}+x+iy$ [/mm] reell ist. Dann solltest du für den Imaginärteil auf eine Gleichung für $y$ kommen, wo du hoffentlich die Lösungen ablesen kannst.
Gruß Max
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:08 So 10.04.2005 | | Autor: | MaxPower |
Hi, ich steh irgendwie heute komplett auf dem Schlauch.
Reell machen heisst doch, dass die Zahl [mm] \in \IR [/mm] darstellbar ist oder ?
In der letzten Gleichung sind ja immer noch 2 Variablen vorhanden, und ich weiss nicht, wie man das i wegbekommen soll, damit die Zahl Reell wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 10.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> und ich weiss nicht, wie man das i wegbekommen
> soll, damit die Zahl Reell wird.
Das brauchst Du ja auch gar nicht!
Eine (komplexe) Zahl ist doch genau dann eine reelle Zahl, wenn der Imaginärteil Null ist!
$z \ = \ x+ i*y$
$z' \ = \ [mm] \bruch{z}{1 + z^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{z} + z} [/mm] \ = \ ...$
$Im(z') \ = \ ... \ = \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$
[/mm]
Eine Triviallösung für Deine Aufgabe ist natürlich $Im(z) \ = \ y \ = \ 0$, weil hier ja nur reelle Zahlen miteinander vernüpft werden, woraus natürlich auch wieder eine reelle Zahl entsteht.
Du mußt also $z' \ = \ ...$ erst umformen (Anregungen/Vorschläge: siehe oben) und dann den entstehenden Imaginärteil $Im(z')$ gleich Null setzen!
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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