Komplexe Zahlen u²=x < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 28.07.2006 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es zu jeder komplexen Zahl z [mm] \in \IC [/mm] eine komplexe Zahl u gibt, so dass u²=z gilt. Hierbei dürfen Sie außer elementaren algebraischen Rechnungen nur benutzten, dass jede positive reelle Zahl eine reelle Wurzel hat.
Geben Sie die Zahl der Lösungen u in Abhängigkeit von z an. Begründen Sie ihre Antwort. |
Hallo,
ich sitze vor dieser Aufgabe und komme nicht recht weiter. Sie ist so formuliert wie als ob man sie eigentlich leicht lösen könnte und nur die Einschränkung "Hierbei dürfen Sie außer elementaren algebraischen Rechnungen nur benutzten, dass jede positive reelle Zahl eine reelle Wurzel hat. " mich davon abhält sie so leicht zu lösen, leider sehe ich selbst diese scheinbar offensichtliche Lösung nicht...
Also ich habe versucht mit der Multiplikation komplexer Zahlen was zu erreichen, dann habe ich versucht über das konjugiert komplexe zu z eine Lösung zu konstruieren. Da habe ich mir leider immer nur reelle Zahlen konstruiert. Hm, hat jemand eine Idee?
Für jede Hilfestellung bin ich dankbar.
Chris
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Hallo Centaur !
...und einen schönen Abend!
Ich habe da gerad so eine Blitzidee gehabt![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") , glaube aber, dass diese wahrscheinlich totaler Unsinn ist!
Wenn [mm]z,u\in\IC[/mm] undzwar so, dass [mm]u^2=z[/mm], dann ist doch [mm]u=\wurzel{z}[/mm], oder nicht?
Dann, wenn gilt, [mm]p,q\in\IR[/mm] und [mm]i:=\wurzel{-1}[/mm] sowie [mm]u:=p*i[/mm];[mm]z:=q*i[/mm], ist doch sicher folgendes richtig, oder?!?!?!
[mm]u^2=z[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](\wurzel{p*i})^2=q*i[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]p*i=q*i[/mm]
...was doch dann genau die zu zeigene Behauptung beihaltet. Aber auch mal ganz logisch gedacht: Das Quadrat einer reellen Zahl ist doch niemals imaginär bzw. komplex; außerdem ist der Zahlkörper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlo0en. Reicht das nicht schon an Begrüdung![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ?
..und ich würde sagen das eine zweite dazu symetrische Lösung gibt:
[mm]u=-\wurzel{z}[/mm]
..also zwei Lösungen insgesamt![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ?
Ich hoffe, das da ein Fünkchen Korrektheit in dieser Idee steckt!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Fr 28.07.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ich denke, dass die Antwort falsch ist, aber ich habe keine Zeit das genau darzulegen.
Dass C algebraisch abgeschlossen ist, ist natürlich richtig, und das würde auch als Begründung reichen, aber ich denke, dass das unter "weiterführende Ergebnisse" fällt und nicht verwendet werden darf.
Trivial ist die Aufgabe außerdem, wenn man die komplexe Zahl in Polardarstellung angibt. Habt Ihr das schon?
So wird das üblicherweise gemacht, und wie man es ohne machen soll, weiß ich grad nicht.
Die Frage ist doch: Was ist denn Wurzel aus z ??? Ein kurzer Ansatz über Koeffizientenvergleich hat bei mir nichts gebracht.
Also: Evtl. Polardarstellung, wenn Ihr die schon kennt.
Viele Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Das ist eine alte Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, ob die Polardarstellung verwendet werden durfte. Trotzdem danke für beide Hinweise. Ich bin jetzt unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen
fündig geworden.
Nochmals danke,
Christoph
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