Komplexe diff.barkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:25 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hitch |
| Aufgabe | In welchen Punkten $z [mm] \in \IC$ [/mm] ist folgende Funktion, komplexx differenzierbar:
a) $f(x+iy) = x²cos(y) + iy$
b) $f(z) = [mm] \bruch{1}{z}$
[/mm]
c) $f(z) = [mm] \overline{z}^2$ [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo, ich komm leider nicht weiter und brauche bitte eure Hilfe.
Zu Aufgabe a).
$f(x+iy) = x²cos(y) + iy$
Es gilt ja auch $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$
Das bedeutet: $u(x,y) = x²cos(y)$
und $v(x,y) = y$
Die partiellen Ableitungen ergeben:
[mm] $u_x [/mm] = 2xcos(y)$
[mm] $v_x [/mm] = 0$
[mm] $u_y [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] sin(y)$
[mm] $v_y [/mm] = 1$
Daraus ergibt sich dass $f$ entlang der Achsen differenzierbar ist.
Es gibt aber noch weitere Stellen der Differenzierbarkeit, nur wie finde ich diese?
Irgendwie muss ich dies aus folgender Gleichung herauslesen, ich weiß aber nicht wie:
$2xcos(y) = 1$
Bitte um einen Denkanstoß.
Lg
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Hallo hitch,
> In welchen Punkten [mm]z \in \IC[/mm] ist folgende Funktion,
> komplexx differenzierbar:
>
> a) [mm]f(x+iy) = x²cos(y) + iy[/mm]
> b) [mm]f(z) = \bruch{1}{z}[/mm]
> c)
> [mm]f(z) = \overline{z}^2[/mm]
> Ich habe diese Frage auch in
> folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
>
> Hallo, ich komm leider nicht weiter und brauche bitte eure
> Hilfe.
>
> Zu Aufgabe a).
>
> [mm]f(x+iy) = x²cos(y) + iy[/mm]
>
> Es gilt ja auch [mm]f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)[/mm]
> Das bedeutet:
> [mm]u(x,y) = x²cos(y)[/mm]
> und [mm]v(x,y) = y[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen ergeben:
>
> [mm]u_x = 2xcos(y)[/mm]
> [mm]v_x = 0[/mm]
>
> [mm]u_y = -x^2 sin(y)[/mm]
> [mm]v_y = 1[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dass [mm]f[/mm] entlang der Achsen
> differenzierbar ist.
>
> Es gibt aber noch weitere Stellen der Differenzierbarkeit,
> nur wie finde ich diese?
>
> Irgendwie muss ich dies aus folgender Gleichung
> herauslesen, ich weiß aber nicht wie:
> [mm]2xcos(y) = 1[/mm]
>
Es gibt ja noch die Gleichung
[mm]x^{2}*\sin\left(y\right)=0[/mm]
Daraus ergeben sich 2 Fälle, die Du mit Hilfe der Gleichung
[mm]2xcos(y) = 1[/mm]
prüfst.
> Bitte um einen Denkanstoß.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hitch |
Aja stimmt ja.
$ [mm] x^{2}\cdot{}\sin\left(y\right)=0 [/mm] $
Daraus drücke ich mir $x = 0$ aus, was die Gleichung $ 2xcos(y) = 1 $ nicht erfüllt.
Wenn ich mir $y$ aus der ersten Gleichung ausdrücke bekomme ich $y = 0$.
Dann gilt die zweite Gleichung nur wenn $x = 0.5$.
Das heißt komplex differenzierbar auf $x = 0.5, y = 0$.
Stimmts so?
mfg
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Hallo hitch,
> Aja stimmt ja.
>
> [mm]x^{2}\cdot{}\sin\left(y\right)=0[/mm]
>
> Daraus drücke ich mir [mm]x = 0[/mm] aus, was die Gleichung
> [mm]2xcos(y) = 1[/mm] nicht erfüllt.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich mir [mm]y[/mm] aus der ersten Gleichung ausdrücke bekomme
> ich [mm]y = 0[/mm].
> Dann gilt die zweite Gleichung nur wenn [mm]x = 0.5[/mm].
>
> Das heißt komplex differenzierbar auf [mm]x = 0.5, y = 0[/mm].
>
Leider ist das nur ein Punkt von vielen.
Beachte daß [mm]\sin\left(y\right)=0[/mm] periodische Lösungen hat.
> Stimmts so?
>
> mfg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hitch |
Hm stimmt.
Das heißt, $f$ ist bei $x = 1/2$ und $y = [mm] k*\pi$ [/mm] wobei $k = 0,2,3,4,6...$
und bei $x = -1/2$ und $y = [mm] (k+1)*\pi$ [/mm] differenzierbar.
Stimmts so?
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Hallo hitch,
> Hm stimmt.
>
> Das heißt, [mm]f[/mm] ist bei [mm]x = 1/2[/mm] und [mm]y = k*\pi[/mm] wobei [mm]k = 0,2,3,4,6...[/mm]
Hier meinst Du wohl k gerade.
> und bei [mm]x = -1/2[/mm] und [mm]y = (k+1)*\pi[/mm] differenzierbar.
>
> Stimmts so?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hitch |
Jap das mein ich ^^.
Danke für deine Hilfe!
Die anderen Aufgaben konnte ich auch schon lösen.
Kann also geschlossen werden.
Lg
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