Komplexe und reelle Basis < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Di 13.03.2012 | | Autor: | David90 |
Hallo, ich hab mal im Anhang die Schritte hochgeladen und hier meine Fragen:
Wie kommen die von der komplexen auf die reele Basis?
Und wieso ist in der Lösung zum Schluss kein Eigenvektor mehr drin, braucht man die dann garnicht ausrechnen?
Gruß David
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo David90,
> Verständnisfrage
> Hallo, ich hab mal im Anhang die Schritte hochgeladen und
> hier meine Fragen:
> Wie kommen die von der komplexen auf die reele Basis?
Durch Ausrechnen und Anwendung der Eulerschen Identität.
Hat eine DGL eine komplexe Lösung, so löst auch der Real-
bzw. Imaginärteil dieser komplexen Lösung die DGL.
> Und wieso ist in der Lösung zum Schluss kein Eigenvektor
> mehr drin, braucht man die dann garnicht ausrechnen?
> Gruß David
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 14.03.2012 | | Autor: | David90 |
Ja ich kenne die Eulerische Identität, aber ich weiß zum Beispiel nich wie die dann plötzlich auf -sin(3x) und cos(3x) kommen. Kannst du mir das mal Schritt für Schritt erklären?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ja ich kenne die Eulerische Identität, aber ich weiß zum
> Beispiel nich wie die dann plötzlich auf -sin(3x) und
> cos(3x) kommen. Kannst du mir das mal Schritt für Schritt
> erklären?
Na, du hast doch als komplexes Ding:
[mm]e^x\cdot{}(\cos(3x)+i\sin(3x))\cdot{}\vektor{\red{i}\\
\blue{1}}[/mm]
[mm]=\vektor{\red{i}\cdot{}e^x\cdot{}(\cos(3x)+i\sin(3x))\\
\blue{1}\cdot{}e^x\cdot{}(\cos(3x)+i\sin(3x))}[/mm]
[mm]=\vektor{ie^x\cos(3x)+i^2e^x\sin(3x)\\
e^x\cos(3x)+ie^x\sin(3x)}[/mm]
[mm]=\vektor{ie^x\cos(3x)-e^x\sin(3x)\\
e^x\cos(3x)+ie^x\sin(3x)}[/mm]
Und davon nimmst du einmal den Realteil, also aus der ersten Komponente den zweiten Summanden und aus der zweiten Komponente den ersten ...
Gibt: [mm]e^x\cdot{}\vektor{-\sin(3x)\\
\cos(3x)} \ =: \ \vec{y}_1(x)[/mm]
Zum anderen nimm analog den Imaginärteil, was dir [mm] $\vec{y}_2(x)$ [/mm] liefert ...
> Gruß David
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 14.03.2012 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe:)
Hab dann noch eine Frage:
Ist [mm] \vec{y_k}(x)=e^{1-3i}*\vektor{1 \\ i}=e^x*cos(3x)-e^x*i*sin(3x)*\vektor{1 \\ i}?
[/mm]
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso verstehe:)
> Hab dann noch eine Frage:
> Ist [mm]\vec{y_k}(x)=e^{1-3i}*\vektor{1 \\ i}=e^x*cos(3x)-e^x*i*sin(3x)*\vektor{1 \\ i}?[/mm]
>
Hier fehlen Klammern:
[mm]\vec{y_k}(x)=e^{1-3i}*\vektor{1 \\ i}=\blue{(} \ e^x*cos(3x)-e^x*i*sin(3x) \ \blue{)}*\vektor{1 \\ i}[/mm]
Sonst stimmt das.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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