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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Hallo Leute,
ich habe da mal eine Frage bezüglich der Bestimmung des Arguments einer komplexen Zahl:
Die Aufgabe ist gegeben mit :
Frage 1) Bestimme Betrag und Argument von 1 - i.
Die Bestimmung des Betrages ist ja nicht so wild (glaube ich) und ergibt für diese Aufgabe |z| = [mm] \wurzel{2} [/mm] (richtig ?).
Zur Bestimmung des Arguments von z soll man die Polarkoordinatendarstellung benutzen und es ergibt sich:
z = r (cos [mm] \alpha [/mm] + i sin [mm] \alpha) [/mm]
Das Argument [mm] \alpha [/mm] ist doch dann [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ?
oder liege ich da falsch (wenn ja, wie komme ich auf die richtige Lösung?)
Die eigentliche Frage ist nun: wie kann ich dieses Ergebnis für das Argument mit Hilfe von [mm] \pi [/mm] darstellen (Lösungsweg) ?
Frage 2) Bestimme Betrag und Argument von (1 - [mm] i)^{5}. [/mm]
Wie muss man mit der Potenz 5 arbeiten ? Kann man die vernachlässigen oder muss man das berechnen um letztendlich wieder auf die Normalform
z = a + i b zu kommen ?
Vielen Dank
Gruss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
> Bestimme Betrag und Argument von 1 - i.
>
> Die Bestimmung des Betrages ist ja nicht so wild (glaube
> ich) und ergibt für diese Aufgabe |z| = [mm]\wurzel{2}[/mm] (richtig
> ?).
richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zur Bestimmung des Arguments von z soll man die
> Polarkoordinatendarstellung benutzen und es ergibt sich:
>
> z = r (cos [mm]\alpha[/mm] + i sin [mm]\alpha)[/mm]
> Das Argument [mm]\alpha[/mm] ist doch dann [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ?
nicht ganz... aber wie Du schon meines Erachtens erkannt hast, müssen sowohl der sinus als auch der cosinus alpha vom Betrag her den Wert [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] haben, (wobei der sinus ein negatives Vorzeichen haben sollte, eben wegen 1 - i), und das ist gerade bei einem Winkel von -45° bzw. 315° der Fall, wie man sich leicht geometrisch veranschaulichen kann.
Im Bogenmaß entspricht das einem Argument von -pi/4 oder eben [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm].
Allgemein müßte man vielleicht den arcussinus des imaginärteils geteilt durch den Radius bilden und sich dann Gedanken machen, ob man dann auch auf der richtigen Seite der komplexen Zahlenebene landet, aber am schnellsten gehts eigentlich, wenn man sich das geometrisch veranschaulicht.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Das problem, welches ich habe, ist, dass ich es momentan noch nicht ganz nachvollziehen kann, wie ich von dem Wert [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] auf einen Wert mit [mm] \pi [/mm] komme. Kann man mir das noch einmal etwas ausführlicher erklären ? Das wäre echt super...
Gruss
Mukkular
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Mukkular,
überleg' mal Folgendes:
(1) Was ist [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] bzw. sin(45°); was ist [mm] cos(\bruch{\pi}{4})?
[/mm]
(Für gängige Winkel gibt's in den meisten Formelsammlungen übrigens kleine Wertetabellen. Aber auch beim Taschenrechner sollte man einige Zahlen mit Bruchteilen von [mm] \pi [/mm] "in Verbindung bringen können", z.B.
[mm] 1,57...=\bruch{\pi}{2}; 0,785...=\bruch{\pi}{4}; [/mm] etc.)
(2) Was ergibt sich, wenn Du bei [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] den Nenner rational machst? Nun: [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2}
[/mm]
(3) Und nun vergleich' beides!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Liebes zwerglein !!!
Danke für den tip mit dem rationalisieren des nenners. Der Groschen ist gefallen !!!
Hat aber noch jemand einen Tip zu Bestimmung des Arguments von [mm] (1-i)^5 [/mm] ?
Wie behandel ich die potenz ?
Danke an alle mathematisch begabten !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Wie bestimmt man Betrag und Argument von [mm] (1-i)^5 [/mm] ?
Muss man die Gleichung auflösen, um auf die "Normalform" für z, z = a+bi, zu kommen?
Danke
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Hi, Mukkular,
da führt wohl kein Weg dran vorbei! Und so schwer ist die binomische Formel für [mm] (a+b)^{5} [/mm] ja auch wieder nicht!
Also dann: Auf geht's!
mfG!
Zwerglein
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hallo Mukkular,
du kannst doch ganz einfach über Polarkoordinaten gehen.
[mm] z=1+i=\wurzel{2}*(cos(\pi/4)+i*sin(\pi/4))
[/mm]
[mm] z^5=\wurzel{2}^5*(cos(5\pi/4)+i*sin(5\pi/4))=...=-4-i
[/mm]
das kannst du sogar mit nem Exponenten von 395 machen, wäre echt schwer erst allles auszurechnen ;)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, ScharzesSchaf,
alles klar, hast mich überzeugt!
Wieder was dazugelernt!
Danke Dir!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Vielen Dank
Ihr habt mir sehr geholfen
Mukkular
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mukkular!
Es wäre sehr nett, wenn du den Status nicht ständig wieder zurückstellen würdest. Die Fragen kann aus meiner Sicht als beantwortet gewertet werden und erfordert keine weiteren Antworten, solange von deiner Seite aus keine Reaktion erfolgt. Damit soll die Aumerksamkeit der Hilfewilligen auf tatsächlich noch unbeantwortete Fragen gelenkt werden. Solltest du mit den bisherigen Antworten nicht zurechtkommen, wäre es gut, wenn du Rückfragen (als Fragen im gleichen Thread) stellen würdest.
Vielen Dank für dein Verständnis.
Viele Grüße
Stefan
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